AtCoder ABC #352 : G - Socks 3

これは割とすんなり。
https://atcoder.jp/contests/abc352/tasks/abc352_g

問題

N種類の靴下が入った箪笥がある。
i種類目の靴下はA[i]個入っている。

箪笥からランダムに靴下を取り出すことを繰り返し、同じ種類を2個取り出した時点で終える。
靴下を取り出す数の期待値を答えよ。

解法

f(n) := 靴下をn個取り出した時点で、それぞれの種類が異なるような取り出しかたに至る確率
とする。これは同じ種類が2個ない状態で取りえる組合わせの数なので、解は1+sum(f(n))が解となる。

S=sum(A)とする。f(n)は、A[0],A[1],....のうちn個の積をC(S,n)で割ったものとなる。
前者については、多項式(1+A[0]x)*(1+A[1]x)*....のn次の係数を取ればいいのでFFTで求めよう。

int N,A[303030];
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

int C[3030];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	ll sum=0;
	queue<vec<ll>> Q;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		sum+=A[i];
		Q.push({1,A[i]});
		C[A[i]]++;
	}
	while(Q.size()>1) {
		auto a=Q.front();
		Q.pop();
		Q.push(MultPoly(a,Q.front(),1));
		Q.pop();
	}
	
	vec<ll> V=Q.front();
	ll ret=0;
	ll fp=1;
	ll fq=1;
	
	for(i=1;i<=N;i++) {
		fp=fp*i%mo;
		fq=fq*(sum+1-i)%mo;
		(ret+=V[i]*modpow(fq)%mo*fp)%=mo;
	}
	ret++;
	cout<<ret<<endl;
	
	
}

まとめ

最近の最終問にしては簡単目？