AtCoder ABC #354 (パナソニックグループ プログラミングコンテスト2024) : G - Select Strings

Dilworthは思いついたのに、この問題を解くのに使えるというところに至らず。
https://atcoder.jp/contests/abc354/tasks/abc354_g

問題

N個の文字列S[i]が与えられる。それぞれスコアA[i]が設定されている。
Sのうちいくつかを選ぶ。その際、ある要素が他の要素の部分文字列になってはならない。
その時文字列に対応するときのスコアの総和として、あり得る最大値を求めよ。

解法

Aがいずれも1の場合を考える。
文字列に対応するN点の無向グラフを考える。
同時に選択できない文字列対に対応する頂点対に辺を張る。

この時、問題の条件を満たすスコアは、Dilworthの定理取り独立なパスの個数となる。
これをAが1でない場合に拡張する。
以下の2N+2点の有向グラフを考える。文字列ごとに、2点準備することを考える。

• sourceから、i番の文字列に対応する点1つ目に、容量A[i]の辺を張る
• i番の文字列に対応する点2つ目からsinkに、容量A[i]の辺を張る
• S[i]とS[j]が同時に選択できない場合、S[i]＜S[j]または(S[i]=S[j]かつi＜j)であれば、i番の文字列に対応する点1つ目からj番の文字列に対応する点2つ目に容量無限大の辺を張る。

このグラフの最小カット＝最大フローは、全文字列を選択するのに対し、喪失しなければならない総スコアの最小値となる。

int N;
string S[101];
int A[101];


template<class V> class MaxFlow_dinic {
public:
	struct edge { int to,reve;V cap;};
	static const int MV = 202020;
	int NV=MV;
	vector<edge> E[MV];
	int itr[MV],lev[MV],mincut[MV]; //1ならsource側
	void init(int NV_) { int i; FOR(i,NV_) E[i].clear(); NV=NV_;}
	void add_edge(int x,int y,V cap,bool undir=false) {
		E[x].push_back((edge){y,(int)E[y].size(),cap});
		E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,undir?cap:0});
	}
	void bfs(int cur) {
		int i;
		FOR(i,NV) lev[i]=-1;
		queue<int> q;
		lev[cur]=0;
		q.push(cur);
		while(q.size()) {
			int v=q.front(); q.pop();
			FORR(e,E[v]) if(e.cap>0 && lev[e.to]<0) lev[e.to]=lev[v]+1, q.push(e.to);
		}
	}
	V dfs(int from,int to,V cf) {
		if(from==to) return cf;
		for(;itr[from]<E[from].size();itr[from]++) {
			edge* e=&E[from][itr[from]];
			if(e->cap>0 && lev[from]<lev[e->to]) {
				V f=dfs(e->to,to,min(cf,e->cap));
				if(f>0) {
					e->cap-=f;
					E[e->to][e->reve].cap += f;
					return f;
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	V maxflow(int from, int to) {
		V fl=0,tf;
		while(1) {
			bfs(from);
			if(lev[to]<0) break;
			ZERO(itr);
			while((tf=dfs(from,to,numeric_limits<V>::max()))>0) fl+=tf;
		}
		//最小カット復元
		int i;
		FOR(i,NV) mincut[i]=0;
		queue<int> Q;
		mincut[from]=1;
		Q.push(from);
		while(Q.size()) {
			int cur=Q.front();
			Q.pop();
			FORR(e,E[cur]) if(e.cap>0&&mincut[e.to]==0) mincut[e.to]=1, Q.push(e.to);
		}
		return fl;
	}
};
MaxFlow_dinic<ll> mf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) cin>>S[i];
	ll sum=0;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		mf.add_edge(2*N,i,A[i]);
		mf.add_edge(N+i,2*N+1,A[i]);
		sum+=A[i];
	}
	
	FOR(x,N) FOR(y,N) if(x!=y) {
		if(S[x].size()==S[y].size()&&x<y&&S[x]==S[y]) {
			mf.add_edge(x,N+y,1LL<<60);
		}
		if(S[x].size()<S[y].size()) {
			for(i=0;i+S[x].size()<=S[y].size();i++) if(S[y].substr(i,S[x].size())==S[x]) {
				mf.add_edge(x,N+y,1LL<<60);
				break;
			}
		}
	}
	cout<<sum-mf.maxflow(2*N,2*N+1)<<endl;
}

まとめ

本番、パスを選ぶのDilworthっぽいなぁというところまで行って、そこで止まってしまった。