Codeforces ECR #154 : E. Non-Intersecting Subpermutations

これは割とすんなり。
https://codeforces.com/contest/1861/problem/E

問題

正整数N,Kが与えられる。
以下を満たす整数列Aは何通りか。

• AはN要素で、1～Kの整数値を取る。
• Aをいくつかの連続部分列に分割したとき、1～KのPermutationとなる箇所が最大でK個になる。

解法

以下を求めよう。
dp(n) := n要素並べたとき、K要素の連続部分列が1～KのPermutationとなるのは末尾K要素の時のみ
これは末尾K要素が異なる数列から、prefix m要素がdp(m)のパターンになるものを包除すればよい。

あとはそのような数列をK個並べたケースを求めて行こう。

int N,K;
const ll mo=998244353;
const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll dp[4040];  // 長さNで初めてK個並ぶ

ll pat[4040];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	cin>>N>>K;
	
	for(i=K;i<=N;i++) {
		dp[i]=fact[K]*modpow(K,i-K)%mo;
		for(j=K;j<i;j++) {
			if(i-j>=K) {
				(dp[i]-=dp[j]*modpow(K,i-j-K)%mo*fact[K])%=mo;
			}
			else {
				(dp[i]-=dp[j]*fact[i-j])%=mo;
			}
		}
		dp[i]=(dp[i]%mo+mo)%mo;
	}
	
	ll ret=0;
	pat[0]=1;
	FOR(i,N) {
		for(j=K;i+j<=N;j++) {
			(pat[i+j]+=pat[i]*dp[j])%=mo;
			(ret+=pat[i]*dp[j]%mo*modpow(K,N-i-j))%=mo;
		}
	}
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

6問回の5問目にしては易しいかも。