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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.181 A↑↑N mod M

テトレーションという単語を初めて聞いた。
http://yukicoder.me/problems/472

問題

 \upuparrowsを以下の計算を行う演算子とする。
 \displaystyle a \upuparrows n = \begin{cases}
1 & (n = 0) \\
a^{(a \upuparrows (n-1))} & (n \gt 0)
\end{cases}

A,N,Mに対し A \upuparrows N \mod Mを求めよ。

解法

自分では全く手が出なかったのでEditorialを参考に解いた。
以下ほとんどEditorialそのまま。若干実装について補足した。

 H(a,n,m) = a \upuparrows n \mod mとする。求めたいのは H(A,N,M)である。

 modpow(a,b,m) = a^b \mod mを用いると以下のように書ける。
 \displaystyle H(a,n,m) = \begin{cases}
0 & (m = 1) \\
1 & (m \neq 1 \; and \; n = 0) \\
modpow(a,a \upuparrows (n-1), m)  & (otherwise)
\end{cases}

ここで a \upuparrows (n-1)自体は64bit値で収まらないほど大きいが、modpowの周期性を用いることで modpow(a,a \upuparrows (n-1), m)を求めることはできる。
modpowの周期はオイラー関数 \phi(m)なので、 a \upuparrows (n-1) \le mならそのままmodpowを計算すればよいし、そうでないなら
 modpow(a,a \upuparrows (n-1), m) = modpow(a,m + [ (H(a, n-1, \phi(m)) - m) \mod \phi(m)], m)を求めればよい。
再帰的にHが出てくるが、第3項が \phi(m)になるので再帰のたびに減少し、実際は再帰の回数はさほど大きくない。

残る問題は \phi(m)の計算と、 a \upuparrows (n-1)がm以下かどうかの判定である。
 \phi(m)は蟻本にあるとおりm以下でmと互いに素な自然数の個数なので、m回GCDを計算すれば求められる。
 a \upuparrows nは厳密に求めるのは大きすぎて困難だが、以下の事実からmを超えるかどうかは判定できる。

  • a==1なら1
  • a>1の場合
    • n==0なら1
    • n==1ならa
    • n==2ならa^aなので、aが16までなら2^64以下に収まる。
    • n==3かつa=2なら2^2^2=16
    • n==3かつa=3なら3^3^3=7625597484987
    • n==4かつaが2なら2^2^2^2=65535
    • それ以外なら2^64に収まらない
ll A,N,M;

ll modpow(ll a, ll n, ll mo) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

const int Mmax=2000;
int phi[Mmax+20];

// return min(upbound,A^^B)
ll AtB(ll a,ll b,ll upbound) {
	if(b==0 || a==1) return min(upbound,1LL);
	if(b==1) return min(upbound,a);
	if(b==2) return (a>10)?upbound:min(modpow(a,a,1LL<<60),upbound);
	if(a==2 && b==3) return min(upbound,1LL<<4);
	if(a==3 && b==3) return min(upbound,modpow(3,27,1LL<<60));
	if(a==2 && b==4) return min(upbound,1LL<<16);
	return upbound;
}

ll H4M(ll a,ll b,ll m) {
	if(m==1) return 0;
	if(a==1 || b==0) return 1;
	
	ll t=AtB(a,b-1,m+1);
	if(t<=m) return modpow(a,t,m);
	return modpow(a,m + (H4M(a,b-1,phi[m])-m)%phi[m], m);
}

void GetPhi() {
	int i,x;
	for(x=1;x<=Mmax;x++) for(i=1;i<=x;i++) phi[x]+=__gcd(i,x)==1;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>A>>N>>M;
	GetPhi();
	cout<< H4M(A,N,M) << endl;
}

まとめ

この式変形は難しいなぁ…。

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