kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.703 ゴミ拾い Easy

最初の2問はいいんだけどね。
https://yukicoder.me/problems/no/703

問題

N人の人がN個のゴミを拾う。
i番目の人は座標(P[i],0)におり、i番目のゴミは(X[i],Y[i])にある。
i番目の人はj≦iであるj番目~i番目のゴミを一斉に拾うことができ、その時のコストはi番目の人とj番目のゴミのユークリッド距離の2乗である。
(ゴミを拾わない人のコストは0である)
最適なゴミ拾いの割り当てをしたときの総コストを求めよ。

なお、PとXはそれぞれ昇順である。

解法

i番目の人まででi番目までのゴミを拾うときの最小コストをC(i)とする。
 \displaystyle C(i) = \min_{0 \le j \lt i}\left( C(j) + {(P_i-X_j)}^2 + {Y_j}^2\right) = \min_{0 \le j \lt i}\left( -2X_jP_i + C(j) + {Y_j}^2 + {P_i}^2)\right)
とP(i)の一時式が複数ある中で最小値を求める問題になるので、Convex Hull Trickを使おう。

template<typename V> struct ConvexHullOnline {
	const V inf=1LL<<40+1;
	const int cmptype=1; // 0-max 1-min
	map<V,V> Q,PR; // Q[a]=b -> a*x+b, P[a]=c ax+b is best unti x<=c PR[c]=a
	unordered_map<V,V> P;
	ConvexHullOnline() { Q[inf]=-inf*inf; Q[-inf]=inf*inf;}
	int ok(pair<V,V> A,pair<V,V> B, pair<V,V> C) { // max or min
		if(A.first==-inf && C.first==inf) return 1;
		return ((__int128_t)(B.second-A.second)*(B.first-C.first)<=(__int128)(C.second-B.second)*(A.first-B.first));
	}
	bool bad(typename map<V,V>::iterator it) {
		if(it==Q.begin() || next(it)==Q.end() || next(it)->first==inf || prev(it)->first==-inf) return false;
		return ok(*prev(it),*it,*next(it))==0;
	}
	void erase(typename map<V,V>::iterator it) { PR.erase(P[it->first]); P.erase(it->first); Q.erase(it);}
	void update(typename map<V,V>::iterator it) {
		if(next(it)==Q.end() || it==Q.begin()) return;
		auto it2=next(it);
		if(it2->first==inf) {
			P[it->first]=inf; PR[inf]=it->first;
		}
		else {
			P[it->first]=(it2->second-it->second)/(it->first-it2->first);
			PR[P[it->first]]=it->first;
		}
	}
	
	void add(V a, V b) { // add ax+b
		if(cmptype) a=-a, b=-b;
		if(Q.count(a)) if(Q[a]==b || Q[a]>b) return;
		Q[a]=b;
		auto it=Q.find(a);
		if(bad(it)) return (void)Q.erase(it);
		while(bad(next(it))) erase(next(it));
		while(bad(prev(it))) erase(prev(it));
		PR.erase(P[it->first]); P.erase(it->first);
		if(prev(it)!=Q.begin()) PR.erase(P[prev(it)->first]); P.erase(prev(it)->first);
		update(it);update(prev(it));
	}
	V query(V x) {
		auto it=PR.lower_bound(x);
		return (it->second*x+Q[it->second])*(cmptype?-1:1);
	}
};

int N;
ll A[303030];
ll X[303030];
ll Y[303030];
ll D[303030];
ConvexHullOnline<ll> cht;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) cin>>A[i];
	FOR(i,N) cin>>X[i];
	FOR(i,N) cin>>Y[i];
	
	FOR(i,N) {
		cht.add(-2*X[i],D[i]+X[i]*X[i]+Y[i]*Y[i]);
		D[i+1]=cht.query(A[i])+A[i]*A[i];
	}
	cout<<D[N]<<endl;
	
}

まとめ

Monge性苦手。