kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.856 増える演算

自信なかったけど通ってよかった。
https://yukicoder.me/problems/no/856

問題

整数列Aが与えられる。
i<jに対し、f(i,j) = (A[i]+A[j])*(A[i]**A[j])で定義される。
prod(f(i,j))/min(f(i,j))を求めよ。

解法

各項目を括弧撃破していこう。

  • 一番簡単なのは分子にある(A[i]**A[j])の積で、これはA[j]の累積和と整数の累乗を使い容易に求められる。
  • 次に分母だが、iを総当たりしつつ対応するjを求め、f(i,j)の最小値を求めよう。
    • まず、iが定まっているときにjに何を取るかだが、それはi番目以降に現れるA[j]が最小となるものを取ればよいのでそこは容易。
    • f(i,j)はかなり大きくなるので具体的な数を何度も求めるのは無謀である。そこで、f(i,j)が最小となる(i,j)の対をまずは大雑把に求め、次に改めてf(i,j)の具体的な値を計算しよう。そのため、f(i,j)の対数を取ってみる。f(i,j)はそう近い値を容易に取れないので、対数をとって大小比較しても精度は問題ない。
  • 残りは分子にある(A[i]+A[j])の積である。(x**A[i])*(x**A[j])=(x**(A[i]+A[j]))となることを用いよう。
    • 多項式 \displaystyle P(x) = \sum_i x^{A_i}を考えると、 \displaystyle P^2(x) = \sum_i \sum_j x^(A_i+A_j)となる。
    • よって \displaystyle P^2(x) - \sum_i x^{2A_i} = \sum_i \sum_{i \lt j} x^(A_i+A_j)となる。
    • この式の各xの次数に対する係数を求めれば、(A[i]+A[j])が一致する値が何回出てくるかわかる。上記の式は多項式の乗算なのでFFTで計算しよう。
typedef complex<double> Comp;

vector<Comp> fft(vector<Comp> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		double deg=(rev?-1:1) * 2*acos(-1)/m;
		Comp wr(cos(deg),sin(deg));
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			Comp w(1,0);
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				Comp t1=v[j1],t2=w*v[j2];
				v[j1]=t1+t2, v[j2]=t1-t2;
				w*=wr;
			}
		}
	}
	if(rev) FOR(i,n) v[i]*=1.0/n;
	return v;
}

vector<Comp> MultPoly(vector<Comp> P,vector<Comp> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]*=Q[i];
	return fft(P,true);
}

int N;
ll A[101010];
ll S[101010];
ll mi[101010];
ll mo=1000000007;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

double hoge(int a,int b) {
	return log(a+b)+b*log(a);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		S[i+1]=S[i]+A[i];
	}
	
	ll a=1<<20,b=1<<20;
	
	mi[N-1]=A[N-1];
	for(i=N-2;i>=0;i--) {
		mi[i]=min(mi[i+1],A[i]);
		if(hoge(A[i],mi[i+1])<hoge(a,b)) {
			a=A[i];
			b=mi[i+1];
		}
	}
	
	
	
	ll ret=1;
	FOR(i,N) {
		ll sum=S[N]-S[i+1];
		(ret*=modpow(A[i],sum))%=mo;
		
	}
	vector<Comp> D(1<<19);
	FOR(i,N) D[A[i]]+=1;
	auto E=MultPoly(D,D);
	for(i=1;i<=200000;i++) {
		ll x=E[i].real()+0.1;
		if(i%2==0) x=x-D[i/2].real()+0.1;
		x/=2;
		ret=ret*modpow(i,x)%mo;
	}
	(ret*=modpow((a+b)*modpow(a,b)%mo))%=mo;
	cout<<ret<<endl;
}

まとめ

FFTに持ち込む部分が一番難しかった。