yukicoder : No.913 木の燃やし方

Codeforcesで出そうな問題。
https://yukicoder.me/problems/no/913

問題

N要素の整数列Aが与えられる。
ある区間のスコアを、(区間長)^2+sum(A[区間])と定義する。

各要素iに対し、その要素を含む区間のうち最大スコアの値を求めよ。

解法

分割統治法で解く。
今A[L...R]の区間について考えるとき、中点Mを区間に含めないケースは、A[L...(M-1)]とA[(M+1)...R]を再帰的に処理していく。
以後、A[M]を含むケースを考えよう。

S[i]=sum(A[0...(i-1)])とすると、A[x...(y-1)]のスコアは(y-x)^2+S[y]-S[x]=-2yx + (x^2-S[x]) + (y^2+S[y])となる。
これはyを定数とみなすと(-2yx+(y^2+S[y]))の部分はxの一次式となるので、y=M...Rに対しこの値を計算しておけば、各L≦x≦Mに対してA[x..(y-1)]のスコアが最大となるyはConvex Hull Trickで高速に求められる。

同様に、x=L...Mにおける前述の一次式を列挙しておけば、yを動かしたときのxの最適値もConvex Hull Trickで求められる。

int N;
ll A[202020];
ll S[202020];
ll ret[202020];
ll cand[202020];

template<typename V> struct ConvexHull {
	deque<pair<V,V>> Q;
	V calc(pair<V,V> p, V x) {
		return p.first*x+p.second;
	}
	int dodo(pair<V,V> A,pair<V,V> B, pair<V,V> C) { // max or min
		return ((__int128)(C.second-A.second)*(A.first-B.first)<=(__int128)(B.second-A.second)*(A.first-C.first));
	}
	void add(V a, V b) { // add ax+b
		Q.push_back({a,b});
		int v;
		while((v=Q.size())>=3 && dodo(Q[v-3],Q[v-2],Q[v-1]))
			Q[v-2]=Q[v-1], Q.pop_back();
	}
	V query(V x) {
		int L=-1,R=Q.size()-1;
		while(R-L>1) {
			int M=(L+R)/2;
			(((calc(Q[M],x)>=calc(Q[M+1],x)))?L:R)=M;
		}
		return calc(Q[R],x);
	}
};

void dfs(int L,int R) {
	if(R-L<=2) {
		if(R-L==2) {
			ret[L]=min(ret[L],4+A[L]+A[L+1]);
			ret[L+1]=min(ret[L+1],4+A[L]+A[L+1]);
		}
		return;
	}
	int M=(L+R)/2;
	dfs(L,M);
	dfs(M+1,R);
	int i;
	ConvexHull<ll> ch;
	for(i=L;i<=M;i++) cand[i]=1LL<<60;
	for(i=M+1;i<=R;i++) {
		ch.add(-2*i,1LL*i*i+S[i]);
	}
	for(i=M;i>=L;i--) {
		cand[i]=1LL*i*i-S[i]+ch.query(i);
	}
	for(i=L;i<=M;i++) {
		cand[i+1]=min(cand[i+1],cand[i]);
		ret[i]=min(ret[i],cand[i]);
	}
	ch.Q.clear();
	for(i=M;i<=R;i++) cand[i]=1LL<<60;
	for(i=L;i<=M;i++) {
		ch.add(-2*i,1LL*i*i-S[i]);
	}
	for(i=M;i<R;i++) {
		cand[i]=1LL*(i+1)*(i+1)+S[i+1]+ch.query(i+1);
	}
	for(i=R-1;i>=M;i--) {
		cand[i-1]=min(cand[i],cand[i-1]);
		ret[i]=min(ret[i],cand[i]);
	}
	
	
	
	
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		S[i+1]=S[i]+A[i];
		ret[i]=1+A[i];
	}
	
	dfs(0,N);
	FOR(i,N) cout<<ret[i]<<endl;
	
}

まとめ

最近桁DPにはだいぶ飽きてきたんだけど、分割統治法も飽きてきたなぁ。
よく言えば自分の中でパターン化できてきたってことだけど。