天下一プログラマーコンテスト2015 予選A : D - ハシポン

近い問題考えたことあったのに解けなかった…。
http://tenka1-2015-quala.contest.atcoder.jp/tasks/tenka1_2015_qualA_d

問題

N頂点M無向辺からなるグラフが与えられる。
このグラフに何本か辺を足し、橋が1本あるグラフにしたい。
最小何本辺を足す必要があるかを求めよ。

解法

まずは全体を二重辺連結成分分解して木に縮約しよう。

木に何本か辺を足して、グラフ全体を二重辺連結にすることを考える。

• 頂点数1：追加不要
• 頂点数2：二重辺連結にはできない
• 頂点数3以上：葉の数をLとすると(L+1)/2個辺を追加すると二重辺連結になる。

あとは木をDFS等で葉の数を数え上げ、かつ「この辺を削除した場合、両側の木がそれぞれ二重辺連結になるには最小何本辺を追加する必要があるか」を辺ごとに総当たりすればよい。
辺を1個削除することで、その両端の点は新たに葉となる可能性があるので、葉の数には注意。

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 120000;
	vector<int> E[MV];
	stack<int> roots,S;
	int NV,ord[MV],llink[MV],inin[MV],time;
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	//SCC_BI(int NV=MV) { this->NV=NV; for(int i=0;i<MV;i++) E[i].clear();}
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; for(int i=0;i<MV;i++) E[i].clear();}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear();
		ZERO(ord);ZERO(llink);ZERO(inin);time=0;
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};

SCC_BI bi;
int N,M,V;
vector<int> E[151010];
int A[151010],B[151010];
int mp[101010];
int tl;
int ok=2010100;

pair<int,int> dfs(int cur,int pre) {
	int num=1;
	int l=(E[cur].size()==1);
	FORR(r,E[cur]) if(r!=pre) {
		auto a=dfs(r,cur);
		l += a.first;
		num += a.second;
	}
	
	if(pre!=-1 && num!=2 && N-num!=2) {
		int l1=l+(E[cur].size()==2);
		int l2=tl-l+(E[pre].size()==2);
		ok=min(ok,((l1==1)?0:(l1+1)/2)+((l2==1)?0:(l2+1)/2));
	}
	return {l,num};
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	
	cin>>N>>M;
	bi.init(N);
	FOR(i,M) {
		cin>>A[i]>>B[i];
		bi.add_edge(A[i],B[i]);
	}
	
	bi.scc();
	V=bi.SC.size();
	if(V==1) return _P("IMPOSSIBLE\n");
	
	FOR(i,V) FORR(r,bi.SC[i]) mp[r]=i;
	FOR(i,M) if(mp[A[i]]!=mp[B[i]]) {
		E[mp[A[i]]].push_back(mp[B[i]]);
		E[mp[B[i]]].push_back(mp[A[i]]);
	}
	FOR(i,V) if(E[i].size()==1) tl++;
	dfs(0,-1);
	
	if(ok<=2*N) _P("%d\n",ok);
	else _P("IMPOSSIBLE\n");
}

まとめ

考察は難しいけど、二重辺連結成分分解さえライブラリにしてあれば実装は容易。
…似た問題考えたのになぜ解けなかったのか…。