yukicoder : No.767 配られたジャパリまん

これ系はいつも戸惑う。
https://yukicoder.me/problems/no/767

問題

H*Wのグリッド上でK個のマスが指定される。
ここで左上マスから右または下の隣接マスを辿り右下マスへ到達することを考える。
K個のマスのうち、通ってもよい（通らなくてもよい）マスがいくつかあるとする。
K個中残りのマスは通ってはならない。

通ってもよいマスの組み合わせ(2^K)通りそれぞれに対し、右下に行く経路数を答えよ。

解法

包除原理を駆使する。
以下の順でbitdpの要領求めていく。

• f(mask) := maskで指定したマスを全て通る経路数を求める。mask以外のマスは通っても通らなくてもよい。
  • 通るべきマスが指定されれば、左上に近い順に通るしかないので通る順も確定し、結果経路数も容易に計算できる。
• g(mask) := maskで指定したマスを全て通り、maskで指定されないマスは通らない経路を求める。
  • これは高速メビウス変換の要領で求める。
• h(mask) := maskで指定したマスは通っても通らなくてもよく、 maskで指定されないマスは通らない経路を求める。
  • これは高速ゼータ変換の要領で求める。

int H,W,K;
int X[25],Y[25];


ll mo=100000007;
ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

int dp[1<<20];
pair<int,int> P[21];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>H>>W>>K;
	FOR(i,K) cin>>Y[i]>>X[i];
	
	
	int mask;
	for(mask=(1<<K)-1;mask>=0;mask--) {
		x=0;
		FOR(i,K) if(mask&(1<<i)) P[x++]={X[i]+Y[i],Y[i]};
		sort(P,P+x);
		
		int px=0,py=0;
		ll pat=1;
		FOR(i,x) {
			auto v=P[i];
			v.first-=v.second;
			if(v.first<px || v.second<py) {
				pat=0;
			}
			else {
				(pat*=comb(v.first-px+v.second-py,v.second-py))%=mo;
				px=v.first;
				py=v.second;
			}
		}
		dp[mask]=pat*comb(W-px+H-py,H-py)%mo;

	}
	FOR(i,K) FOR(mask,1<<K) if((mask&(1<<i))==0) {
		dp[mask]+=mo-dp[mask|(1<<i)];
		if(dp[mask]>=mo) dp[mask]-=mo;
	}
	FOR(i,K) FOR(mask,1<<K) if((mask&(1<<i))) {
		dp[mask]+=dp[mask^(1<<i)];
		if(dp[mask]>=mo) dp[mask]-=mo;
	}
	
	FOR(mask,1<<K) {
		int ok=mask^((1<<K)-1);
		_P("%d\n",dp[ok]);
	}
	
}

まとめ

ややこしいね…。