Good Bye 2018 : D. New Year and the Permutation Concatenation

うーむ、Eが解ききれず最後のCFはレート微減で終わった。
https://codeforces.com/contest/1091/problem/D

問題

1～NのPermutation N!通りを、辞書順に並べ連結する。
このうち、長さNの部分列で総和がN(N+1)/2となるものは何通りか。

解法

長さNの部分列のうち、1～NのPermutationとなっているものを数え上げればよい。
まず、元の列を長さN毎に分けたものは当然それぞれPermutationなのでN!通り。

この長さN毎の数列を、Prefix AとSuffix Bに分ける。
(A,B)のあとに(A,B') (B'はBのPermutation)が続く形になっている場合、(A,B,A,B')のうち(B,A)の部分が同様にPermutationになる。
これはComb(N,|A|) * |A|! * (|B|!-1)通りである。よってAの長さ毎に左記の値の総和を取ればよい。

int N;
ll mo=998244353;
ll fact[1020101];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=1400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	
	fact[0]=1;
	for(i=1;i<=1010101;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%mo;
	
	ll ret=fact[N];
	for(i=1;i<N;i++) {
		(ret+=comb(N,i)*fact[i]%mo*(fact[N-i]+mo-1))%=mo;
	}
	cout<<ret<<endl;
	
	
}

まとめ

Permutationじゃないけど総和がN(N+1)/2になるケースあるのかな。