Codeforces #586 E. Tourism

まーた出来の悪かった回。
https://codeforces.com/contest/1220/problem/E

問題

連結無向グラフが与えられる。
各頂点には正のスコアが与えられる。

頂点Sから始め、いくつかの辺をたどっていくことを考える。
同じ辺を２回連続移動しない、という条件のもとで到達可能な頂点のスコアを集めたとき、その最大値はいくつか。
なお、頂点は複数回通ってもよいが、スコアは1回分しか加算されない。

解法

まず、グラフを二重橋連結成分分解しよう。
3頂点以上の連結成分内は、任意に移動できる。

次に、そのような連結成分に挟まれた連結成分は、行ったり来たりすることでやはり任意に移動できる。
そこで、それらも順次連結していこう。
そうすると、このグラフは１つの巨大な連結成分と、そこに木がぶら下がる形状になる。
そうすると最適解は、まずSからその連結成分内に至る経路を通るのは必須である。
あとは木の残された頂点のうち、１個の子に至る経路上のスコアをかき集めることになるので、これはDFSすればよい。

int N,M;
int W[202020];
int U[402020],V[402020];

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 210000;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> ord,llink,inin;
	stack<int> roots,S;
	vector<int> M; //point to group
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { assert(NV); E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i,se=0;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre || se) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
			else se++; // double edge
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				M[i]=SC.size()-1;
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV);
		ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0;
		ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};

SCC_BI bi,bi2;
template<int um> class UF {
	public:
	vector<int> par,rank,cnt;
	UF() {par=rank=vector<int>(um,0); cnt=vector<int>(um,1); for(int i=0;i<um;i++) par[i]=i;}
	void reinit() {int i; FOR(i,um) rank[i]=0,cnt[i]=1,par[i]=i;}
	int operator[](int x) {return (par[x]==x)?(x):(par[x] = operator[](par[x]));}
	int count(int x) { return cnt[operator[](x)];}
	int operator()(int x,int y) {
		if((x=operator[](x))==(y=operator[](y))) return x;
		cnt[y]=cnt[x]=cnt[x]+cnt[y];
		if(rank[x]>rank[y]) return par[x]=y;
		rank[x]+=rank[x]==rank[y]; return par[y]=x;
	}
};
UF<202020> uf;
int S;
int mp[202020];
ll W2[202020];
vector<int> E[202020];
ll ret,fix;
void dfs(int cur,int pre,ll tot) {
	tot+=W2[cur];
	ret=max(ret,tot);
	FORR(e,E[cur]) if(e!=pre) dfs(e,cur,tot);
}

int dfs1(int cur,int pre) {
	int ok=0;
	if(bi2.SC[cur].size()>1) ok=1;
	FORR(e,E[cur]) if(e!=pre) ok |= dfs1(e,cur);
	if(ok) {
		fix+=W2[cur];
		W2[cur]=0;
	}
	return ok;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	scanf("%d%d",&N,&M);
	FOR(i,N) scanf("%d",&W[i]);
	bi.init(N);
	bi2.init(N);
	FOR(i,M) {
		scanf("%d%d",&U[i],&V[i]);
		U[i]--,V[i]--;
		uf(U[i],V[i]);
		bi.add_edge(U[i],V[i]);
		bi2.add_edge(U[i],V[i]);
	}
	scanf("%d",&S);
	S--;
	bi.scc();
	int pre=-1;
	FOR(i,bi.SC.size()) if(bi.SC[i].size()>1 && uf[S]==uf[bi.SC[i][0]]) {
		if(pre!=-1) {
			U[M]=pre;
			V[M]=bi.SC[i][0];
			bi2.add_edge(U[M],V[M]);
			M++;
		}
		pre=bi.SC[i][0];
	}
	bi2.scc();
	FOR(i,bi2.SC.size()) {
		FORR(r,bi2.SC[i]) {
			mp[r]=i;
			W2[i]+=W[r];
		}
	}
	FOR(i,M) {
		if(mp[U[i]]!=mp[V[i]]) {
			E[mp[U[i]]].push_back(mp[V[i]]);
			E[mp[V[i]]].push_back(mp[U[i]]);
		}
	}
	dfs1(mp[S],-1);
	dfs(mp[S],-1,0);
	cout<<ret+fix<<endl;
}

まとめ

シンプルな問題設定でありながらなかなかの考察と解きごたえがあってよいね。