Codeforces ECR #077 : F. Colored Tree

ECRの最終問らしい実装の重い問題。
http://codeforces.com/contest/1260/problem/F

問題

頂点に色のついた木を成す無向グラフに対し、その価値とは、同色の頂点対における最短距離の総和とする。
ここで、木を成す無向グラフと、各頂点が取りえる色番号の範囲が与えられる。
全頂点の全色の組み合わせにおける価値の総和を求めよ。

解法

各頂点が各色を取る確率と距離の積に対し累積和を取る。
詳細な式変形はEditorial参照。
色区間を走査し、各頂点が距離計算において有効である確率の総和を計算する必要があるので、その過程でパスに対する加算が必要になる。
そこでHL分解とBITを併用しよう。

int N;
ll L[101010],R[101010],D[101010],G[101010];
vector<int> add[101010],del[101010];
vector<int> E[101010];
const ll mo=1000000007;

struct HLdecomp {
	static const int MD=20;
	int N,NE,id;
	vector<vector<int>> E;
	vector<int> D,S,B,C; // depth, size, base,heavy child
	
	vector<int> L,R,rev; // EulerTour
	vector<vector<int>> P,Cs; // parent for LCA,children
	void init(int N) { this->N=N, NE=0, E.clear(),E.resize(N); Cs.clear(),Cs.resize(N);
		D=S=B=C=L=R=rev=vector<int>(N,0); id=0; int i; P.clear(); FOR(i,MD+1) P.push_back(vector<int>(N,0));}
	void add_edge(int a,int b){ E[a].push_back(b),E[b].push_back(a); NE++;} // undir
	void dfs(int cur,int pre) { // get depth, parent, size, largest subtree
		int i;
		P[0][cur]=pre;S[cur]=1;C[cur]=-1;B[cur]=cur;
		D[cur]=(pre==cur)?0:(D[pre]+1);
		FOR(i,E[cur].size()) if(E[cur][i]!=pre) {
			int r=E[cur][i]; dfs(r,cur); S[cur]+=S[r];
			if(C[cur]==-1 || S[r]>S[C[cur]]) C[cur]=r;
		}
	}
	void dfs2(int cur,int pre) { // set base and list
		if(pre!=cur && C[pre]==cur) B[cur]=B[pre];
		else B[cur]=cur;
		Cs[B[cur]].push_back(cur);
		L[cur]=id++;
		rev[L[cur]]=cur;
		// DFS順を先行
		if(C[cur]!=-1) dfs2(C[cur],cur);
		FORR(r,E[cur]) if(r!=pre && r!=C[cur]) dfs2(r,cur);
		R[cur]=id;
	}
	pair<int,int> lca(int a,int b) {
		int ret=0,i,aa=a,bb=b;
		if(D[aa]>D[bb]) swap(aa,bb);
		for(i=19;i>=0;i--) if(D[bb]-D[aa]>=1<<i) bb=P[i][bb];
		for(i=19;i>=0;i--) if(P[i][aa]!=P[i][bb]) aa=P[i][aa], bb=P[i][bb];
		return make_pair((aa==bb)?aa:P[0][aa], D[a]+D[b]-2*D[(aa==bb)?aa:P[0][aa]]);
	}
	void decomp(int root=0){
		assert(NE==N-1);
		dfs(root,root); dfs2(root,root);
		int i,x; FOR(i,MD) FOR(x,N) P[i+1][x]=P[i][P[i][x]];
	}
};

template<class V, int ME> class BIT_r {
public:
	V bit[2][1<<ME];
	BIT_r(){clear();};
	void clear() {ZERO(bit);};
	
	void update(int entry, V val0, V val1) {
		entry++;
		while(entry <= 1<<ME) {
			(bit[0][entry-1]+=val0)%=mo;
			(bit[1][entry-1]+=val1)%=mo;
			entry += entry & -entry;
		}
	}
	V total(int entry) {
		if(entry<0) return 0;
		int e=entry++;
		V v0=0,v1=0;
		while(entry>0) v0+=bit[0][entry-1], v1+=bit[1][entry-1], entry -= entry & -entry;
		v0%=mo;
		v1%=mo;
		return ((e*v0+v1)%mo+mo)%mo;
	}
	void add(int L, int R, V val) { // add val to L<=x<=R
		val%=mo;
		update(L,val,((-val*(L-1))%mo+mo)%mo);
		update(R+1,mo-val,(val*R%mo+mo)%mo);
	}
};
BIT_r<ll,20> bt;

HLdecomp hl;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

void doadd(int f,ll v) {
	while(hl.B[f]) {
		bt.add(hl.L[hl.B[f]],hl.L[f],v);
		f=hl.P[0][hl.B[f]];
	}
	bt.add(0,hl.L[f],v);
}
ll get(int f) { // fはtの子孫
	ll ret=0;
	while(hl.B[f]) {
		ret += bt.total(hl.L[f])-bt.total(hl.L[hl.B[f]]-1);
		f=hl.P[0][hl.B[f]];
	}
	ret += bt.total(hl.L[f])-bt.total(0);
	return (ret%mo+mo)%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	hl.init(N);
	ll P=1;
	FOR(i,N) {
		cin>>L[i]>>R[i];
		add[L[i]].push_back(i);
		del[R[i]].push_back(i);
		G[i]=R[i]-L[i]+1;
		P=P*G[i]%mo;
		G[i]=modpow(G[i]);
	}
	FOR(i,N-1) {
		cin>>x>>y;
		E[x-1].push_back(y-1);
		E[y-1].push_back(x-1);
		hl.add_edge(x-1,y-1);
	}
	hl.decomp();
	FOR(i,N) D[i]=hl.D[i];
	
	ll ret=0;
	ll sum1d=0,sum1=0,sum2=0,sum3=0;
	for(int c=1;c<=100000;c++) {
		FORR(v,add[c]) {
			(sum1d+=D[v]*G[v])%=mo;
			(sum1+=G[v])%=mo;
			(sum2+=D[v]*G[v]%mo*G[v])%=mo;
			(sum3+=get(v)*G[v])%=mo;
			doadd(v,G[v]);
		}
		//cout<<sum3<<endl;
		ret+=sum1d*sum1-sum2-2*sum3;
		ret=(ret%mo+mo)%mo;
		
		FORR(v,del[c]) {
			(sum1d+=mo-D[v]*G[v]%mo)%=mo;
			(sum1+=mo-G[v]%mo)%=mo;
			(sum2+=mo-D[v]*G[v]%mo*G[v]%mo)%=mo;
			doadd(v,mo-G[v]);
			(sum3+=mo-get(v)*G[v]%mo)%=mo;
		}
	}
	cout<<ret*P%mo<<endl;
	
}

まとめ

トリッキーな処理はしていないけど、式変形がかなり複雑なので手を抜いてしまった…。