AtCoder ACLBC : F - Heights and Pairs

これABC相当で出てくるのか。
https://atcoder.jp/contests/abl/tasks/abl_f

問題

2N個の整数が与えられる。
これらをN組のペアに分けるとき、同じ整数がペアにならない分け方は何通りか。

解法

包除原理で解く。
P(x) := x^nの係数は、同じ整数がnペア確実にできている分け方(それ以上できているかもしれない)
という多項式を考える。このn次の係数をPnとすると
とすると、が解となる。

あとはP(x)を求めよう。
入力にある数vがc個あったとする。
これらが0～floor(c/2)個ペアを構築したとすると、多項式P_c(x)のn次の項はn個ペアを作る場合としてとする。
P(x)は、この各P_c(x)の積なので、いわゆるマージテクの要領で小さい順に掛け合わせていこう。

int N;
int H[101010];
const ll mo=998244353;
ll fact2[101010];
const int NUM_=400001;
ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

vector<ll> V[101010];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	
	fact2[1]=1;
	for(i=3;i<=101000;i+=2) fact2[i]=fact2[i-2]*i%mo;
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N;
	FOR(i,2*N) {
		cin>>x;
		H[x]++;
	}
	priority_queue<pair<int,int>> P;
	FOR(i,100001) if(H[i]) {
		V[i].push_back(1);
		for(j=1;2*j<=H[i];j++) {
			V[i].push_back(comb(H[i],2*j)*fact2[2*j-1]%mo);
		}
		P.push({-(int)V[i].size(),i});
	}
	
	while(P.size()>1) {
		x=P.top().second;
		P.pop();
		y=P.top().second;
		P.pop();
		V[x]=MultPoly(V[x],V[y],1);
		V[y].clear();
		P.push({-(int)V[x].size(),x});
	}
	
	ll ret=0;
	x=P.top().second;
	FOR(i,V[x].size()) if(V[x][i]) {
		ll v=V[x][i]*(i==N?1:fact2[2*(N-i)-1])%mo;
		if(i%2) ret+=mo-v;
		else ret+=v;
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

ABC相当にしては難しめ。