Codeforces ECR #086 : E. Placing Rooks

Eは難しくない。
http://codeforces.com/contest/1342/problem/E

問題

N*NのグリッドにN個のルークを置く。
全マスにいずれかのルークが1手で到達可能で、かつこの時、互いに1手で攻撃可能で、かつ間に他の駒が入らないルークの対がK個だったとする。
ルークの置き方を求めよ。

解法

「間に他の駒が入らない」の条件により、Kは最大でも全駒同じ列か同じ行に置いたN-1である。
「全マスにいずれかのルークが1手で到達可能」の条件より、ルークは各列1個ずつか、各行1個ずつのいずれかを満たす。
K=0の時は各列・各行1個ずつ置けばいいのでN!通り。

以下、Kが1以上N-1以下のケースを考える。
この時、「各列1個ずつか、各行1個ずつ」の片方だけを満たす。
そこで片方のパターンを数えて解を2倍しよう。

前者の場合、もし用いる列がC列の時、(N-C)個だけ条件のペアが構築される。
言い換えれば、ちょうどN-K列だけ使えば、問題の条件を満たす。
f(x) := N個のルークを各行1個ずつ置き、1個以上のルークが置かれた数がちょうどx列である置き方
を求めれば、f(N-K)が解となる。とはいえこれは直接求めにくいので、
g(x) := N個のルークを各行1個ずつ置き、1個以上のルークが置かれた数がx列以下である置き方
包除原理の要領でf(x)を求められる。

g(x)は、用いる列x個の選び方C(N,x)と、各行でどの列を選ぶかx^Nの積。

int N;
ll K;
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	if(K==0) {
		ll ret=1;
		FOR(i,N) ret=ret*(i+1)%mo;
		cout<<ret<<endl;
		return;
	}
	if(K>=N) {
		cout<<0<<endl;
		return;
	}
	
	K=N-K;
	ll ret=0;
	for(i=1;i<=K;i++) {
		if((K-i)%2==0) {
			ret+=modpow(i,N)*comb(K,i)%mo;
		}
		else {
			ret-=modpow(i,N)*comb(K,i)%mo;
		}
	}
	ret=(ret%mo*2*comb(N,K)%mo+mo)%mo;
	cout<<ret<<endl;
	
	
}

まとめ

いつもルークとナイトとクイーンの移動範囲を間違えそうになる。