AtCoder ABC #196 : F - Substring 2

持ってたネタと被った。ABCでFFT出るのね。
https://atcoder.jp/contests/abc196/tasks/abc196_f

問題

01で構成された文字列S,Tが与えられる。
Tの文字をいくつか置き換え、TがSの部分文字列となるようにしたい。
最小何文字置き換えればよいか。

解法

S中の|T|文字と、Tが何文字一致するかを、開始位置に応じて網羅的に求める。
そのためFFTを使う。
多項式P(x),Q(x)を以下のように定める。
P(x) := xのn次の係数は、S[n]が0なら-1、1なら1
Q(x) := xのn次の係数は、T[|T|-1-n]が0なら-1、1なら1

P(x)*Q(x)のxの(n+m)次の係数を考えると、Pのn次の項とQのm次の項が一致する、すなわちS[n]=T[|T|-1-m]なら1、そうでないなら-1が形状される。
よって、xの(n+m)次の係数をRとすると、(|T|-R)/2が不一致な文字の数となる。
よってP(x)*Q(x)をFFTで求め、各次数の係数を見ていこう。

typedef complex<double> Comp;

vector<Comp> fft(vector<Comp> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		double deg=(rev?-1:1) * 2*acos(-1)/m;
		Comp wr(cos(deg),sin(deg));
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			Comp w(1,0);
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				Comp t1=v[j1],t2=w*v[j2];
				v[j1]=t1+t2, v[j2]=t1-t2;
				w*=wr;
			}
		}
	}
	if(rev) FOR(i,n) v[i]*=1.0/n;
	return v;
}

vector<Comp> MultPoly(vector<Comp> P,vector<Comp> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]*=Q[i];
	return fft(P,true);
}

string S,T;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	vector<Comp> A,B;
	cin>>S>>T;
	A.resize(1<<21);
	B.resize(1<<21);
	FOR(i,S.size()) {
		if(S[i]=='0') A[i]=-1;
		else A[i]=1;
	}
	FOR(i,T.size()) {
		if(T[i]=='0') B[T.size()-1-i]=-1;
		else B[T.size()-1-i]=1;
	}
	
	auto C=MultPoly(A,B);
	int ma=-1<<30;
	for(i=T.size()-1;i<S.size();i++) ma=max(ma,(int)round(C[i].real()));
	cout<<(T.size()-ma)/2<<endl;
}

まとめ

ほぼ同じ問題を考えていたので、使えなくなっちゃったな。
せっかくだから設定を書いておくと、こんな感じ。

N人の男子の列と、N人の女子の列があり、それぞれ利き手が与えられる。
両列で同じ位置の男女をペアにし、N組のペアを作ってダンスを踊る。
利き手が異なるペアは、互いに利き手を使って手をつなぐので見栄えが良くなる。
それぞれの列を任意にrotateできるとき、見栄えの良いペアの最大何ペア？