kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.1387 Mitarushi's Remodeling

yukicoder

こういう数え上げ、なかなかさらっと解けない。
https://yukicoder.me/problems/no/1387

問題

以下の問題を考える。

N枚のカードがあり、上からi番目のカードには値A[i]が書かれている。
今からカードをK回分割する。
分割とは、カードの山を1つ選び、上から数枚と残り数枚(いずれも正)の2つの山に分けることをいう。
その際、スコアとして山のカードの値の和の積が形状される。
全分割法におけるスコアの総和はいくつか？

さらにこれにアレンジを加えた問題を考えた。
N枚のカードがあり、整数列M[i]と整数K'が与えられる。
A[i]として1以上M[i]の整数を選び、K'として1以上K以下の値を選ぶと、その選び方はK*A[0]*A[1]*...*A[N-1]通りある。
全組み合わせにおいて、元の問題のスコアの和を求めよ。

解法

まず前者の問題を考える。
i番とj番のカードでいずれかのタイミングで分割されると、スコアにA[i]*A[j]が計上される。
分割が生じるのは、(N-1)箇所のカードの境界でK個切れ込みを入れることを考えると、i番とj番の間に1個以上切れ込みが入る場合である。
よってA[i]*A[j]*(P(N-1,K)-P(N-1-(j-i),K))だけ計上される。

後者の問題を考えると、上記の式においてまずA[i]の部分はsum(1～M[i])、A[j]の部分はsum(1～M[j])と置き換えて考えればよい。
K'の変化による(P(N-1,K')-P(N-1-(j-i),K'))の総和の部分は、階乗の逆数の累積和を事前に取っておくと、O(1)で求められるようになる。

int N,K;
ll A[505050];
const ll mo=998244353;

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1],factrs[NUM_+1];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}


template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}


ll Psum(int N,int K) {
	const int NUM_=1400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1],factrs[NUM_+1];
	if(fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=factrs[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo, factrs[i]=(factrs[i-1]+factr[i])%mo;
	}
	K=min(N,K);
	return fact[N]*(mo+factrs[N-1]-(N>K?factrs[N-K-1]:0))%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	vector<ll> B(1<<20),C(1<<20);
	ll Z=modpow(4);
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		B[i]=A[i]+1;
		C[N-1-i]=A[i]+1;
		Z=Z*A[i]%mo;
	}

	
	auto D=MultPoly(B,C);
	
	ll ret=0;
	for(int l=1;l<=N-1;l++) {
		ll P=D[N-1-l]*(Psum(N-1,K)+mo-Psum(N-1-l,K))%mo;
		(ret+=P*Z)%=mo;
	}
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

式変形がさらっと思いつけないなぁ。