東大入試の場合の数の問題、確かにプログラムで解きたくなる時がある。
https://yukicoder.me/problems/no/1414
問題
整数N,M,Kが与えられる。
1~NのうちM個の整数を選ぶとき、K個の連続した数字が含まれている部分があるような選び方は何通りか。
解法
f(i) := K個以上の連続する整数が含まれいる区間が少なくともi個ある選び方
とすると、包除原理の要領でf(1)-f(2)+f(3)-f(4)....で求めることができる。
f(i)の求め方だが、N要素の中から、(選ばない1要素)+(選ぶK要素)という(K+1)要素をi個選び、あとは残り(N-(K+1)i)要素から(M-(K+1)i)要素を選ぶケースを考えればよい。
ただし、先頭K要素を選ぶ場合のみ(選ばない1要素)は不要。
int N,M,K; const ll mo=998244353; const int NUM_=11400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; ll comb(ll N_, ll C_) { if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>M>>K; ll ret=0; for(i=1;K*i<=M;i++) { ll pat=0; //left ll need=K+(K+1)*(i-1); ll left=M-K*i; ll space=N-(K+(K+1)*(i-1)); if(left>=0&&space>=0) pat+=comb(space+i-1,i-1)*comb(space,left)%mo; need=(K+1)*i; space=N-need; if(left>=0&&space>=0) pat+=comb(space+i,i)*comb(space,left)%mo; if(i%2) ret+=pat%mo; else ret+=mo-pat%mo; } cout<<ret%mo<<endl; }
まとめ
この切れ目を入れながら数え上げるケースはしばしば見るな。