yukicoder : No.1431 東大文系数学2020第2問改

東大入試、確率や数え上げ問題毎回1問出る印象。
https://yukicoder.me/problems/no/1431

問題

X軸に平行なN本の直線と、Y軸に平行なN本の直線がある。
これらの交点はN^2個ある。
ここからM点選んだ時、どの点も通過しない直線がK本となるのは何通りか。

解法

包除原理で解く。
そのような直線がK本以上あるケースを数え上げる。
M個の点を置き得るY軸に平行な線がP本、X軸に平行な線がQ本あるとする。
その組み合わせはComb(P*Q,M)*Comb(N,P)*Comb(N,Q)通りある。

また、まだ残りの直線の配置は、Comb(2N-P-Q,K)通りある。
あとは、これらの積を、(K+P+Q)の偶奇に応じて足し引きする。

int N,M,K;
const ll mo=998244353;
ll dp[3030][3030];
ll dp2[3030][3030];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=3030*3030;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>K;
	ll ret=0;
	FOR(x,N+1) FOR(y,N+1) {
		// x*y本を選ぶ
		ll tmp=(comb(x*y,M)*comb(N,x)%mo*comb(N,y)%mo)%mo;
		// 残りからK本選ぶ
		tmp=tmp*comb(2*N-x-y,K)%mo;
		if((K+x+y)&1) ret+=mo-tmp;
		else ret+=tmp;
		
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

自信もって一発でこの式立てられるかな…。