yukicoder : No.1547 [Cherry 2nd Tune *] 偶然の勝利の確率

うーん。
https://yukicoder.me/problems/no/1547

問題

2人でコインを使ったゲームを行う。
それぞれのプレイヤーが使うコインは表が出る確率が異なり、それぞれ有理数でその値が与えられる。
それとは別にパラメータS,T,Yが与えられる。

初期値0の変数Xを使い、以下をKターン行う。

• 先手は、自分のコインを投げる。
  • 表が出たらXをインクリメントする。XがSに到達したら終了。しなかったら、またコインを投げる。
  • 裏が出たら後手にターンが移る。
• 続けて、後手は、自分のコインを投げる。
  • 表が出たらXをデクリメントする。Xが-Tに到達したら終了。しなかったら、またコインを投げる。
  • 裏が出たらこのターンが終了。

Kターン経っても勝者が現れない場合、両者敗北である。
両者の勝率を求めよ。

解法

S+Tが100以下なので、ターン開始時のXの値に対し、先手の操作によるXの遷移先とその確率を示す行列Aと、後手の操作によるYの遷移先とその確率を示す行列Bを求め、(AB)^Kを求めよう。

const ll mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll MA,MB,NA,NB;
int S,T,K;

const int MAT=101;
struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};};

Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y];
		if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2;
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(i,n) r.v[i][i]=1;
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>MA>>NA>>S;
	cin>>MB>>NB>>T;
	MA=MA*modpow(NA)%mo;
	MB=MB*modpow(NB)%mo;
	
	cin>>K;
	Mat A,B;
	A.v[50+S][50+S]=B.v[50+S][50+S]=1;
	A.v[50-T][50-T]=B.v[50-T][50-T]=1;
	for(x=50-T+1;x<50+S;x++) {
		ll pat=1;
		for(y=x;y<50+S;y++) {
			A.v[y][x]=pat*(1+mo-MA)%mo;
			pat=pat*MA%mo;
		}
		A.v[50+S][x]=pat;
		pat=1;
		for(y=x;y>50-T;y--) {
			B.v[y][x]=pat*(1+mo-MB)%mo;
			pat=pat*MB%mo;
		}
		B.v[50-T][x]=pat;
	}
	
	Mat C=mulmat(B,A);
	C=powmat(K,C);
	
	cout<<C.v[50+S][50]<<endl;
	cout<<C.v[50-T][50]<<endl;
}

まとめ

2つの行列の積を取ったうえで累乗するのはちょっと珍しい？