yukicoder : No.1627 三角形の成立

なるほど…。
https://yukicoder.me/problems/no/1627

問題

2次元座標上、N*W個グリッド状に格子点がある。
ここから3点を選んで三角形を作ったとき、面積が正となるのは何通りか。

解法

全点から3点の選びかたから、面積が0、すなわち3点が一直線上になるものを引こう。
まず、3点がX軸またはY軸に平行なケースは容易なので先に除いておく。

一直線に並ぶ3点中、両端のX座標の差とY座標の差のGCDがgの時、その間に点を置いた時3点が一直線に並ぶケースはg-1通りである。
そこで、GCDがgとなるような両端の選び方を数え上げよう。

これは、「両端のX座標の差とY座標の差がいずれもgの倍数の時」の組み合わせを求めた後、約数包除の要領で「GCDがg」のケースを求めればよい。

ll H,W;
const ll mo=1000000007;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll A[303030],B[303030],C[303030];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>H>>W;
	
	ll all=1LL*H*W%mo;
	ll ret=all*(all-1)%mo*(all-2)%mo*modpow(6)%mo;
	
	ret-=W*H%mo*(H-1)%mo*(H-2)%mo*modpow(6);
	ret-=H*W%mo*(W-1)%mo*(W-2)%mo*modpow(6);
	ret=(ret%mo+mo)%mo;
	
	for(i=1;i<W;i++) A[i]=(W-i)%mo;
	for(i=1;i<H;i++) B[i]=(H-i)%mo;
	
	for(i=1;i<=300000;i++) {
		ll SA=0;
		ll SB=0;
		for(x=i;x<=300000;x+=i) {
			SA+=A[x];
			SB+=B[x];
		}
		SA%=mo;
		SB%=mo;
		C[i]=2*SA*SB%mo;
	}
	for(i=300000;i>=1;i--) {
		for(x=2*i;x<=300000;x+=i) {
			C[i]-=C[x];
		}
		C[i]=(C[i]%mo+mo)%mo;
		ret-=(i-1)*C[i]%mo%mo;
	}
	cout<<(ret%mo+mo)%mo<<endl;
	
	
}

まとめ

シンプルん問題設定で良いね。