AtCoder ARC #129 : E - Yet Another Minimization

また知らないテクが出てきた。
https://atcoder.jp/contests/arc129/tasks/arc129_e

問題

N要素の整数列Xを作ることを考える。
X[i]の候補として、それぞれM個の値が与えられ、うち1個を選ぶことになる。
A[i][j]をX[i]のj番目の候補とし、あらかじめ昇順に並べられているとする。
それぞれ、その値を選ぶときのコストC[i][j]が与えられる。

加えて2次元配列Wが与えられ、X[i]とX[j]の差の絶対値に対し、W[i][j]を掛けたコストがかかる。
コストの最小値を求めよ。

解法

フローの形で表現し、最小カットを求めよう。
X[i]の候補M個に対応する点をV(i,m)とする。また、sourceをV(i,0)とする。
V(i,0)→V(i,1)→…→V(i,m)→sink
となる辺の並びに辺を張ることを考える。
V(i,j)→V(i,j+1)の辺の間には、C[i][j+1]を容量とする辺を張る。
また、逆向きには容量無限大の辺を張ろう。

これにより、値を設定するコストを表現できた。このままだと、各要素最小コストの値を選ぶ状態になる。
ここで、加えてX[i]とX[j]の差に由来するコストの辺を張ろう。
A[i][a]がA[j][b]より小さいとき、V(j,b)→V(i,a)に(A[j][b]-A[i][a])*W[i][j]の辺を張る。
ただし、a＜a'かつA[i][a']＜A[j][b]となる最小のa'がある場合、すでにV(j,b)→V(i,'a)に(A[j][b]-A[i]['a])*W[i][j]の辺が張られているので、そこからの差分(A[i][a']-A[i][a])*W[i][j]を張ろう。

int N,M;
ll A[50][7];
ll C[50][7];
ll W;

template<class V> class MaxFlow_dinic {
public:
	struct edge { int to,reve;V cap;};
	static const int MV = 110000;
	vector<edge> E[MV];
	int itr[MV],lev[MV];
	void add_edge(int x,int y,V cap,bool undir=false) {
		E[x].push_back((edge){y,(int)E[y].size(),cap});
		E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,undir?cap:0});
	}
	void bfs(int cur) {
		MINUS(lev);
		queue<int> q;
		lev[cur]=0;
		q.push(cur);
		while(q.size()) {
			int v=q.front(); q.pop();
			FORR(e,E[v]) if(e.cap>0 && lev[e.to]<0) lev[e.to]=lev[v]+1, q.push(e.to);
		}
	}
	V dfs(int from,int to,V cf) {
		if(from==to) return cf;
		for(;itr[from]<E[from].size();itr[from]++) {
			edge* e=&E[from][itr[from]];
			if(e->cap>0 && lev[from]<lev[e->to]) {
				V f=dfs(e->to,to,min(cf,e->cap));
				if(f>0) {
					e->cap-=f;
					E[e->to][e->reve].cap += f;
					return f;
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	V maxflow(int from, int to) {
		V fl=0,tf;
		while(1) {
			bfs(from);
			if(lev[to]<0) return fl;
			ZERO(itr);
			while((tf=dfs(from,to,numeric_limits<V>::max()))>0) fl+=tf;
		}
	}
};
MaxFlow_dinic<ll> mf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	FOR(y,N) {
		FOR(x,M) {
			cin>>A[y][x+1]>>C[y][x+1];
			mf.add_edge(2+y*(M+1)+x,2+y*(M+1)+x+1,C[y][x+1]);
			mf.add_edge(2+y*(M+1)+x+1,2+y*(M+1)+x,1LL<<60);
		}
		A[y][M+1]=1LL<<60;
		mf.add_edge(0,2+y*(M+1),1LL<<60);
		mf.add_edge(2+y*(M+1)+M,1,1LL<<60);
	}
	FOR(x,N) {
		for(y=x+1;y<N;y++) {
			cin>>W;
			for(i=1;i<=M;i++) {
				for(j=1;j<=M;j++) {
					if(A[x][i]>A[y][j]) {
						ll ma=min(A[x][i],A[y][j+1]);
						ll mi=max(A[x][i-1],A[y][j]);
						if(ma>mi) mf.add_edge(2+x*(M+1)+i-1,2+y*(M+1)+j,W*(ma-mi));
					}
					if(A[x][i]<A[y][j]) {
						ll ma=min(A[y][j],A[x][i+1]);
						ll mi=max(A[y][j-1],A[x][i]);
						if(ma>mi) mf.add_edge(2+y*(M+1)+j-1,2+x*(M+1)+i,W*(ma-mi));
					}
				}
			}
			
		}
	}
	cout<<mf.maxflow(0,1)<<endl;
}

まとめ

このテクちゃんと復習しないと今後使いまわせる気がしないな…。