yukicoder : No.1815 K色問題

これAC数妙に少ないのなんでだろ。
https://yukicoder.me/problems/no/1815

問題

N*Mのグリッドの各セルをK色で塗り分ける。
隣接セルが同色にならない、かつK色すべてが1回以上使われる塗り方は何通りか。

解法

f(k) := k色以下を使い塗り分ける塗り方
とすると、解はとなる。
あとはf(k)を求めよう。

左端の列の色を定めると、

• N=1の時、右隣の列の色の組み合わせは(K-1)通り
• N=2の時、右隣の列の色の組み合わせは( (K-2)^2+(K-1) )通り
• N=3の時、最上段と最下段の色が等しい場合と異なる場合それぞれにおいて、右隣の列の色の組み合わせを考えよう。あとは行列累乗の要領で全体の数を数え上げられる。
  • 右隣の列の色の組み合わせは、以下のコードではDFSで頑張っているが、数式で計算することもできるようだ。

int N;
ll M,K;
const ll mo=1000000007;

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}
ll P(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[N_-C_]*fact[N_]%mo;
}

const int MAT=2;
struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};};

Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y];
		if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2;
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(i,n) r.v[i][i]=1;
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}

void dfs(vector<int> V,Mat& A,int K) {
	int ma=*max_element(ALL(V))+1;
	if(V.size()==6) {
		if(V[0]==V[3]) return;
		if(V[1]==V[4]) return;
		if(V[2]==V[5]) return;
		if(V[3]==V[4]) return;
		if(V[4]==V[5]) return;
		int x=V[0]==V[2];
		int y=V[3]==V[5];
		
		if(x) A.v[y][x]+=P(K-2,ma-2);
		else A.v[y][x]+=P(K-3,ma-3);


	}
	else {
		int i;
		FOR(i,ma+1) {
			V.push_back(i);
			dfs(V,A,K);
			V.pop_back();
		}
		
	}
}

ll hoge(ll K) {
	Mat A;
	ll ret;
	if(N==1) {
		A.v[0][0]=K-1;
		A=powmat(M-1,A);
		ret=K*A.v[0][0]%mo;
	}
	else if(N==2) {
		A.v[0][0]=((K-2)*(K-2)+K-1)%mo;
		A=powmat(M-1,A);
		ret=K*(K-1)%mo*A.v[0][0]%mo;
	}
	else {
		dfs({0,1,0},A,K);
		dfs({0,1,2},A,K);
		int x,y;
		FOR(x,2) FOR(y,2) A.v[y][x]%=mo;
		
		A=powmat(M-1,A);
		ll XYX=K*(K-1)%mo;
		ll XYZ=K*(K-1)%mo*(K-2)%mo;
		ret=XYZ*(A.v[0][0]+A.v[1][0])+XYX*(A.v[0][1]+A.v[1][1]);
	}
	return ret%mo;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;

	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N>>M>>K;
	
	ll ret=0;
	for(i=1;i<=K;i++) {
		ll a=hoge(i)*comb(K,i)%mo;
		if((K-i)%2) {
			ret+=mo-a;
		}
		else {
			ret+=a;
		}
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

DFS部分が地味に面倒だった。