yukicoder : No.1821 LEQ-GEQ Permutations

勉強になった。
https://yukicoder.me/problems/no/1821

問題

01で構成されたN文字の文字列Sが与えられる。
1～Nの2つの順列P,Qに対し、

• S[i]=0ならP[i]≦Q[i]
• S[i]=1ならP[i]≧Q[i]

となるものは何通りか。

解法

Sにおいて0がx個、1がy個とする。
x個中P[i]!=Q[i]となる箇所がa個、y個中P[i]!=Q[i]となる箇所がb個とすると、解は

となる。
この時、f(n,m)は、長さnの撹拌順列Rのうち、i＜R[i]となるiがm個のものとする。

f(n,m)は撹拌順列の計算法の応用で、最大値をどこにどうつなげるかを考えると
f(n,m) = 2*(n-1)*f(n-2,m-1) + m*f(n-1,m) + (n-m)*f(n,m)
となる。

int N;
string S;
const ll mo=998244353;
ll dp[5050][5050];

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}
ll P(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[N_-C_]*fact[N_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N>>S;
	int C[2]={};
	FORR(c,S) C[c-'0']++;
	
	dp[0][0]=1;
	for(i=2;i<=5000;i++) {
		for(j=1;j<=i;j++) dp[i][j]=(dp[i-2][j-1]*(i-1)+dp[i-1][j]*j+dp[i-1][j-1]*(i-j))%mo;
	}
	
	
	ll ret=0;
	FOR(x,C[0]+1) FOR(y,C[1]+1) {
		ret+=dp[x+y][x]*comb(C[0],x)%mo*fact[x]%mo*comb(C[1],y)%mo*fact[y]%mo*P(N,N-x-y)%mo;
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

f(n,m)の数え方が勉強になった。