yukicoder : No.2135 C5

こういうの本番に通しきるの大変そう。
https://yukicoder.me/problems/no/2135

問題

整数N,Mが与えられる。
ラベル付き頂点からなる、N頂点M辺の単純無向グラフのうち以下のものは何通りか。

• N点から5点選んだ時、その誘導部分グラフは必ず長さ5の閉路を持つ。

解法

条件を満たす補グラフは、以下の条件を満たす。

• 最大次数は2以下である。
  • もし補グラフで次数3以上ある点があると、その点と隣接点を含む5点を選ぶと、閉路を作れない。
• 長さ3・4の閉路を持たない。

言い換えると、補グラフの各連結成分は以下のいずれかであればよい。

• 孤立点
• パス
• 長さ5以上の閉路

あとは処理済みの頂点数と辺数を状態に持つDPで、上記を数え上げればよい。

int N,M;
ll dp[303][90909];
const ll mo=998244353;
const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;

	cin>>N>>M;
	dp[0][0]=1;
	FOR(i,N) {
		FOR(x,i*i+1) if(dp[i][x]) {
			//孤立
			(dp[i+1][x]+=dp[i][x])%=mo;
			//パス
			for(y=2;i+y<=N;y++) {
				ll a=comb(N-(i+1),y-1);
				ll b=(fact[y]*(mo+1)/2)%mo;
				(dp[i+y][x+y-1]+=dp[i][x]*a%mo*b)%=mo;
			}
			//閉路
			for(y=5;i+y<=N;y++) {
				ll a=comb(N-(i+1),y-1);
				ll b=(fact[y-1]*(mo+1)/2)%mo;
				(dp[i+y][x+y]+=dp[i][x]*a%mo*b)%=mo;
			}
		}
	}
	cout<<dp[N][N*(N-1)/2-M]<<endl;
}

まとめ

補グラフを考えると簡単になるというテク、覚えておこう…。