AtCoder ABC #289 (Ｓｋｙ株式会社プログラミングコンテスト2023) : Ex - Trio

これは解けるべきだった…。
https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_h

問題

1次元の数直線上に3つの点A,B,Cがある。
時間1ごとに、各点は隣接する左右いずれかの格子点に1/2の確率で移動する。
時刻Tにおいて、3点が初めて同じ座標にいる確率を求めよ。

解法

g(t) := 時刻tに3点が同じ座標にいる確率
h(t) := 時刻tに初めて3点が同じ座標にいる確率
f(t) := 同じ座標にいた3点が、時間t経過後に同じ座標にいる確率

とする。
g(t)とf(t)は、二項係数の3乗和を求める式が出てくるが、これは階乗の逆数を3つ掛けた係数を持つ母関数を、NTTで2つ掛けることで高速に求めることができる。
h(t)はg(t)から時刻t以前に3点が同じ座標にいたケースを除けばよいので、
h(t) = g(t) - sum(h(s)*f(t-s))
のような式になる。これはABC213Exの要領で分割統治で解いていけばよい。

int A[3],T;
const ll mo=998244353;
int X,Y;

const int NUM_=2000003;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}


ll F[101010];
ll G[101010];
ll H[202020];

void dfs(int L,int R) {
	if(L+1>=R) return;
	int M=(L+R)/2;
	dfs(L,M);
	vector<ll> A,B,C;
	int i;
	for(i=L;i<M;i++) A.push_back(G[i]);
	for(i=L;i<R;i++) B.push_back(F[i-L]);
	C=MultPoly(A,B,1);
	for(i=M;i<R;i++) (G[i]+=mo-C[i-L])%=mo;
	
	dfs(M,R);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>A[0]>>A[1]>>A[2]>>T;
	sort(A,A+3);
	X=(A[1]-A[0])/2;
	Y=(A[2]-A[1])/2;
	

	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	vector<ll> F3,F32,A,B,AB;
	FOR(i,201010) {
		F3.push_back(factr[i]*factr[i]%mo*factr[i]%mo);
		A.push_back(factr[i]*factr[Y+i]%mo*factr[X+Y+i]%mo);
		if(i<X+Y) B.push_back(0);
		else B.push_back(factr[i]*factr[i-Y]%mo*factr[i-X-Y]%mo);
	}
	F32=MultPoly(F3,F3,1);
	AB=MultPoly(A,B,1);
	
	// G nターン後に同じ場所にいる確率
	// F nターン後に同じ場所にいる確率
	FOR(i,T+1) {
		if(i<X+Y) G[i]=0;
		else G[i]=fact[i]*fact[i]%mo*fact[i]%mo*AB[i]%mo*modpow(modpow(2,3*i))%mo;
		F[i]=F32[i]*fact[i]%mo*fact[i]%mo*fact[i]%mo*modpow(modpow(2,3*i))%mo;
	}
	
	dfs(0,T+1);
	cout<<G[T]<<endl;
	
	
}

まとめ

本番は最後の分割統治の部分が書けなかった。
いざ書いてみたらさほど難しくなかったし、さっさと試してみればよかったな…。