Codeforces ECR #118 : F. Tree Coloring

全完できてよかった。
https://codeforces.com/contest/1613/problem/F

問題

N頂点の根付き木が与えられる。
各点を1～Nの異なる色で塗り分けたい。
この時、親頂点の色番号が子頂点の色番号より1つ多い状態がないようにしたい。

条件を満たす色の塗り分け方は何通りか。

解法

包除原理で解く。
各頂点に子頂点がC個あるとき、親と子の1個が条件に違反するケースを考えると、各頂点における(1+Cx)の積をNTTで求めよう。
x^kの係数がaの時、少なくともk箇所で条件に違反する親子関係がある。
その場合の色の塗り分け方は(N-k)!通りである。
あとは包除原理でkの偶奇に応じてそれらの結果を加減算すればよい。

int N;
vector<int> E[252525];
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

ll fact[252525];


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N-1) {
		cin>>x>>y;
		E[x-1].push_back(y-1);
		E[y-1].push_back(x-1);
	}

	fact[0]=1;
	for(i=1;i<252500;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%mo;
	
	deque<vector<ll>> D;
	FOR(i,N) {
		x=E[i].size()-(i!=0);
		D.push_back({1,x});
	}
	
	while(D.size()>1) {
		vector<ll> a=MultPoly(D[0],D[1],1);
		D.pop_front();
		D.pop_front();
		D.push_back(a);
	}
	
	ll ret=0;
	FOR(i,D[0].size()) {
		ll a=D[0][i]*fact[N-i]%mo;
		if(i%2==0) {
			ret+=a;
		}
		else {
			ret+=mo-a;
		}
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
	
	
}

まとめ

ECRの6問回のボス問にしてはすんなり。