Codeforces ECR #123 : F. Basis

またややこしい問題。
https://codeforces.com/contest/1644/problem/F

問題

以下の2つの関数を定義する。

• F(A,x) : 数列Aの各要素をx個に複製したのち、prefix |A|個を残した数列
• G(A,x,y) : 数列Aにおける値xをyに、値yをxに置換したもの

数列Aが数列Bの親であるとは、適切なx,yを用いてF(A,x)=BまたはG(A,x,y)=Bと表現できるものとする。

整数列N,Kが与えられる。
1～Kの各整数値を取る整数列N全通りを考える。
これらの祖先となる整数列の集合のうち、最小となるのはいくつか。

解法

関数FとGの適用順は逆にしても結果は変わらない。
そこで関数Fは無視してまず関数Gのみ考える。
m個の要素のみ登場するケースは、第2種スターリング数の要領で数え上げることができる。

その後Fを使うケースを数え上げるが、これは約数包除の要領で、関数Fで遷移できる分を引いていこう。

int N,K;
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

const int prime_max = 420000;
int MU[prime_max+1];
int num[prime_max+1];

ll A[202020];

void mebius() {
	int i,j;
	for(i=1;i<=prime_max;i++) MU[i]=1, num[i]=i;
	for(int i=2;i<=prime_max;i++) if(num[i]==i) {
		for(j=i;j<=prime_max;j+=i) {
			int x=0;
			MU[j]=-MU[j];
			while(num[j]%i==0) {
				x++;
				num[j]/=i;
			}
			if(x>=2) MU[j]=0;
		}
	}
}

ll hoge(int a) {
	if(A[a]>=0) return A[a];
	ll ret=0;
	
	vector<ll> P(a+1),Q(a+1);
	
	ll f=1;
	int i;
	FOR(i,a+1) {
		if(i>1) f=f*modpow(i)%mo;
		P[i]=f;
		if(i%2) P[i]=mo-P[i];
		Q[i]=modpow(i,a)*f%mo;
	}
	auto R=MultPoly(P,Q,1);
	FOR(i,min(K,a)+1) ret+=R[i];
	return A[a]=ret%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	
	cin>>N>>K;
	if(N==1||K==1) {
		cout<<1<<endl;
		return;
	}
	mebius();
	
	ll ret=0;
	MINUS(A);
	for(i=1;i<=N;i++) {
		ret-=MU[i];
		ret+=MU[i]*hoge((N+i-1)/i)%mo;
	}
	cout<<(ret%mo+mo)%mo<<endl;
	
}

まとめ

問題設定からしてちょっとややこしい。