AtCoder ARC #144 : D - AND OR Equation

これは本番中に解けた。
https://atcoder.jp/contests/arc144/tasks/arc144_d

問題

正整数N,Kが与えられる。
以下を満たす整数列(f(0),f(1),....,f(2^N-1))を求めよ。

• 0≦f(x)≦K
• f(x)+f(y) = f(x and y)+f(x or y)

解法

f(x)-f(x^(2^i)=abs(g(i))
となるようなg(i)を定め、かつg(i)の総和がK以下であれば、条件を満たす。

iはN通り考えられるが、そのうちn個でg(i)が非ゼロであるとする。
g(i)の符号が正負取りえることを考えると、nを総当たりしながらComb(N,n)*Comb(K+1,n+1)*2^nの総和を取ればよい。

int N;
ll K;
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	ll ret=0;
	__int128 A=1,B=1;
	FOR(i,N+1) {
		A=A*(K-i+1)%mo;
		B=B*(i+1)%mo;
		ll c=A*modpow(B)%mo;
		ret+=comb(N,i)*modpow(2,i)%mo*c%mo;
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

コードは短いけど、割と手間取った。