kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ABC #318 (THIRD プログラミングコンテスト 2023 アルゴ) : Ex - Count Strong Test Cases

ARC

650ptを無事解けて良かったね。
https://atcoder.jp/contests/abc318/tasks/abc318_h

問題

整数Nが与えられる。
1～Nの順列P,Qの作り方は(N!)^2通りある。
以下を満たすのは何通りか。

点iと点P[i]の間に重さQ[i]の辺を張る。
以下の手順で閉路を作らないようにする。

  • Aliceはiの小さい順に、辺i-P[i]が閉路内ならi-P[i]の辺を切る。
  • Bobはiの大きい順に、辺i-P[i]が閉路内ならi-P[i]の辺を切る。

切った辺の重みを最小化したい。
最適な順で切る辺を選んだ場合、AliceもBobも誤った結果となる。

解法

(N!)^2から、(Aliceが正答するパターン)+(Bobが正答するパターン)-(AliceもBobも正答するパターン)を求めよう。
Aliceが正答するのは、各閉路において閉路内で最小のiについて、辺i-P[i]が、重さも最小であるケースである。
同様にBobが正答するのは、各閉路において閉路内で最大のiについて、辺i-P[i]が、重さも最小であるケースである。

両方が同時に成立するのは、各閉路が長さ1、すなわちP[i]=iの場合なので、その組み合わせはQが任意な分N!通り。
対称性からAliceとBobの正答パターン数は同じなので、Aliceの場合を考える。

F(n) := 1～nの順列P,Qに対し、Aliceの手順で正しい結果となる(Pの組み合わせの数)×(Qがそれを満たす確率)
とする。
1番の頂点を含む閉路の長さがLである場合を考えると、
\displaystyle F(n) = \sum_{L=1}^n P(n-1,L-1) \times f(n-L) \times \frac{1}{L}
x=n-Lと置くと
\displaystyle F(n) = (n-1)! \sum_{L=1}^n \frac{f(x)}{x!} \times \frac{1}{n-x}
とsumの中がxの式とn-xの式の積和になる。これはFFTと分割統治法で計算できる。

あとは(N!)^2 - 2*F(N)*N! + N!が解。

int N;
const ll mo=998244353;

const int NUM_=2000003;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

vector<ll> F(1<<18);

void dfs(int L,int R) {
	int i;
	if(L+1>=R||R<=2) return;
	int M=(L+R)/2;
	dfs(L,M);
	vector<ll> A(R-L),B(R-L);
	int N=M-L;
	FOR(i,2*N) A[i]=inv[i+1];
	FOR(i,N) B[i]=F[L+i]*factr[L+i]%mo;
	B=MultPoly(A,B);
	FOR(i,N) {
		(F[M+i]+=fact[M+i-1]*B[N-1+i])%=mo;
	}
	
	dfs(M,R);
}
	



void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;

	cin>>N;
	F[0]=F[1]=1;
	
	dfs(0,1<<18);
	
	
	ll alice=F[N]*fact[N]%mo;
	ll bob=F[N]*fact[N]%mo;
	ll both=fact[N]%mo;
	ll ret=fact[N]*fact[N]%mo-alice-bob+both;
	cout<<(ret%mo+mo)%mo<<endl;
	
}

まとめ

少しずつFFTの分割統治に慣れてきた。