こういうのさっと解きたいな。
https://yukicoder.me/problems/no/1866
問題
1~2^Nの番号の人からなるトーナメント戦を考える。
2人が対戦すると、番号の小さい方が勝つ確率がA/B、大きい方が勝つ確率が(B-A)/Bである。
トーナメントの組み合わせが全通り等確率で発生するとき、各人の優勝確率を求めよ。
解法
番号(k+1)の人が優勝するかどうかは、k人の番号k以下の人と、(2^N-(k+1))人の番号k+2以上の人の配置で決まる。
よって細かい番号は意味がないので、
- 番号0番の人がk人
- 番号1番の人が1人
- 番号2番の人が(2^N-(k+1))人
いるときに1番の人が優勝する確率を考える。
f(n,k) := 2^n人中0番の人がk人、残りが2番の人の時、0番の人が優勝する確率
g(n,k) := 2^n人中0番の人がk人、1番の人が1人、残りが2番の人の時、1番の人が優勝する確率
とすると、g(n+1,a+b)はf(n,a)とg(n,b)に係数を掛けたものに対する積和で表せられ、NTTでg(n+1,*)をまとめて計算できる。
const ll mo=998244353; int N,A,B; vector<ll> F[19],G[19]; ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1; a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } ll comb(ll N_, ll C_) { const int NUM_=1400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) { int n=v.size(),i,j,m; for(i=0,j=1;j<n-1;j++) { for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1); if(i>j) swap(v[i],v[j]); } for(int m=2; m<=n; m*=2) { T wn=modpow(5,(mo-1)/m); if(rev) wn=modpow(wn); for(i=0;i<n;i+=m) { T w=1; for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) { T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo; v[j1]=t1+t2; v[j2]=t1+mo-t2; while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo; while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo; w=(ll)w*wn%mo; } } } if(rev) { ll rv = modpow(n); FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo; } return v; } template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) { if(resize) { int maxind=0,pi=0,qi=0,i; int s=2; FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i; FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i; maxind=pi+qi+1; while(s*2<maxind) s*=2; P.resize(s*2);Q.resize(s*2); if(s<=16) { //fastpath vector<T> R(s*2); for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo; return R; } } P=fft(P), Q=fft(Q); for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo; return fft(P,true); } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>A>>B; A=A*modpow(B)%mo; F[0]={0,1}; FOR(i,N) { vector<ll> S=F[i],T; FOR(j,S.size()) { (S[j]*=comb(1<<i,j))%=mo; T.push_back(comb(1<<i,j)); } vector<ll> X=MultPoly(S,S,1); vector<ll> Y=MultPoly(S,T,1); FOR(j,(1<<(i+1))+1) { ll a=((2*mo+1-2*A)*X[j]+2*A*Y[j])%mo; a=a*modpow(comb(1<<(i+1),j))%mo; F[i+1].push_back(a); } } G[0]={1}; FOR(i,N) { vector<ll> S=G[i],T=F[i],U; FOR(j,S.size()) { (S[j]*=comb((1<<i)-1,j))%=mo; } FOR(j,T.size()) { (T[j]*=comb((1<<i),j))%=mo; U.push_back(comb((1<<i),j)); } vector<ll> X=MultPoly(S,T,1); vector<ll> Y=MultPoly(S,U,1); FOR(j,(1<<(i+1))) { ll a=((2*mo+1-2*A)*X[j]+A*Y[j])%mo; a=a*modpow(comb((1<<(i+1))-1,j))%mo; G[i+1].push_back(a); } } FOR(i,1<<N) cout<<G[N][i]<<endl; }
まとめ
細かい係数の部分に戸惑いそう。