yukicoder : No.1866 Unfair Tournament

こういうのさっと解きたいな。
https://yukicoder.me/problems/no/1866

問題

1～2^Nの番号の人からなるトーナメント戦を考える。
2人が対戦すると、番号の小さい方が勝つ確率がA/B、大きい方が勝つ確率が(B-A)/Bである。
トーナメントの組み合わせが全通り等確率で発生するとき、各人の優勝確率を求めよ。

解法

番号(k+1)の人が優勝するかどうかは、k人の番号k以下の人と、(2^N-(k+1))人の番号k+2以上の人の配置で決まる。
よって細かい番号は意味がないので、

• 番号0番の人がk人
• 番号1番の人が1人
• 番号2番の人が(2^N-(k+1))人

いるときに1番の人が優勝する確率を考える。

f(n,k) := 2^n人中0番の人がk人、残りが2番の人の時、0番の人が優勝する確率
g(n,k) := 2^n人中0番の人がk人、1番の人が1人、残りが2番の人の時、1番の人が優勝する確率

とすると、g(n+1,a+b)はf(n,a)とg(n,b)に係数を掛けたものに対する積和で表せられ、NTTでg(n+1,*)をまとめて計算できる。

const ll mo=998244353;
int N,A,B;
vector<ll> F[19],G[19];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=1400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>A>>B;
	A=A*modpow(B)%mo;
	F[0]={0,1};
	FOR(i,N) {
		vector<ll> S=F[i],T;
		FOR(j,S.size()) {
			(S[j]*=comb(1<<i,j))%=mo;
			T.push_back(comb(1<<i,j));
		}
		vector<ll> X=MultPoly(S,S,1);
		vector<ll> Y=MultPoly(S,T,1);
		FOR(j,(1<<(i+1))+1) {
			ll a=((2*mo+1-2*A)*X[j]+2*A*Y[j])%mo;
			a=a*modpow(comb(1<<(i+1),j))%mo;
			F[i+1].push_back(a);
		}
	}
	G[0]={1};
	FOR(i,N) {
		vector<ll> S=G[i],T=F[i],U;
		FOR(j,S.size()) {
			(S[j]*=comb((1<<i)-1,j))%=mo;
		}
		FOR(j,T.size()) {
			(T[j]*=comb((1<<i),j))%=mo;
			U.push_back(comb((1<<i),j));
		}
		
		vector<ll> X=MultPoly(S,T,1);
		vector<ll> Y=MultPoly(S,U,1);
		FOR(j,(1<<(i+1))) {
			ll a=((2*mo+1-2*A)*X[j]+A*Y[j])%mo;
			a=a*modpow(comb((1<<(i+1))-1,j))%mo;
			G[i+1].push_back(a);
		}
	}
	FOR(i,1<<N) cout<<G[N][i]<<endl;
	
}

まとめ

細かい係数の部分に戸惑いそう。