yukicoder : No.1864 Shortest Paths Counting

初手を思いつくかが重要。
https://yukicoder.me/problems/no/1864

問題

2次元座標上でN個の点が与えられる。
ここで、2点間の距離はチェビシェフ距離で計算されるとする。
1番の点からいくつかの点を経由してN番の点に移動する場合、最短路となる経由点は何通りか。

解法

i番目の座標(X[i],Y[i])を、((X[i]+Y[i])/2,(X[i]-Y[i])/2)と座標変換してみる。
そうすると、2点間の距離はマンハッタン距離になる。

X座標及びY座標を必要に応じて符号反転し、X[1]≦X[N]およびY[1]≦Y[N]となるようにする。
(X[1],Y[1])と(X[N],Y[N])のマンハッタン距離を考えると、X[1]≦X[u]≦X[v]≦X[N]かつY[1]≦Y[u]≦Y[v]≦Y[N]である点u,vについては、u→vと経由しても最短路を保つことができる。
そこで、あとはY座標を座標圧縮しつつ、X座標順に平面走査していけば最短路の数をBITで数え上げられる。

int N;
ll X[202020],Y[202020];
ll mo=998244353;
template<class V, int ME> class BIT_mod {
public:
	V bit[1<<ME];
	BIT_mod(){ZERO(bit);};
	V operator()(int e) { if(e<0) return 0; ll s=0;e++;while(e) s+=bit[e-1],e-=e&-e; return s%mo;}
	void add(int e,V v) { e++; while(e<=1<<ME) { bit[e-1]+=v; bit[e-1] -= (bit[e-1]>=mo)?mo:0; e+=e&-e;}}
};
BIT_mod<int,20> bt;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) {
		cin>>x>>y;
		X[i]=x+y;
		Y[i]=x-y;
	}
	for(i=N-1;i>=0;i--) {
		X[i]-=X[0];
		Y[i]-=Y[0];
	}
	if(X[N-1]<0) {
		FOR(i,N) X[i]=-X[i];
	}
	if(Y[N-1]<0) {
		FOR(i,N) Y[i]=-Y[i];
	}
	vector<ll> Ys;
	vector<pair<ll,int>> P;
	FOR(i,N) {
		if(X[i]<X[0]||X[i]>X[N-1]) continue;
		if(Y[i]<Y[0]||Y[i]>Y[N-1]) continue;
		Ys.push_back(Y[i]);
	}
	sort(ALL(Ys));
	FOR(i,N) {
		if(i==0) continue;
		if(X[i]<X[0]||X[i]>X[N-1]) continue;
		if(Y[i]<Y[0]||Y[i]>Y[N-1]) continue;
		Y[i]=lower_bound(ALL(Ys),Y[i])-Ys.begin();
		P.push_back({X[i],Y[i]});
	}
	sort(ALL(P));
	ll ret;
	bt.add(0,1);
	FORR2(x,y,P) {
		ret=bt(y);
		bt.add(y,ret);
	}
	cout<<ret<<endl;
}

まとめ

マンハッタン距離→チェビシェフ距離はよくやるけど、逆もできたのか…。