本番中に解けて良かったね。
https://codeforces.com/contest/1821/problem/F
問題
整数N,M,Kが与えられる。
1~Nの番地のうち、どこかMか所に高さKの木を立てるとする。
木を左右どちらかに倒した場合、複数の木が同じ場所に重なることなく、また番地の外にはみ出ることがないような木の配置は何通りか。
解法
木の倒れ方のバリエーションについて、包除原理により、同じ領域を占める場合の木の配置パターンを数え上げる。
ll N,M,K; const int mo=998244353; ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1; a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>; template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) { int n=v.size(),i,j,m; for(int m=n; m>=2; m/=2) { T wn=modpow(5,(mo-1)/m); if(rev) wn=modpow(wn); for(i=0;i<n;i+=m) { T w=1; for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) { T t1=v[j1],t2=v[j2]; v[j1]=t1+t2; v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo; while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo; w=(ll)w*wn%mo; } } } for(i=0,j=1;j<n-1;j++) { for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1); if(i>j) swap(v[i],v[j]); } if(rev) { ll rv = modpow(n); FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo; } return v; } template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) { if(resize) { int maxind=0,pi=0,qi=0,i; int s=2; FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i; FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i; maxind=pi+qi+1; while(s*2<maxind) s*=2; if(s<=16) { //fastpath vec<T> R(s*2); for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo; return R; } vec<T> P2(s*2),Q2(s*2); FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i]; FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i]; swap(P,P2),swap(Q,Q2); } P=fft(P), Q=fft(Q); for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo; return fft(P,true); } template<class T> vector<T> inverse(vector<T> a) { assert(a[0]>0); vector<T> b={(T)modpow(a[0])}; while(b.size()<a.size()) { vector<T> c(a.begin(),a.begin()+min(a.size(),2*b.size())); vector<T> d=MultPoly(b,b,true); if(d.size()>a.size()) d.resize(a.size()); c = MultPoly(c,d,true); b.resize(2*b.size()); int i; for(i=b.size()/2;i<b.size();i++) b[i]=(mo-c[i])%mo; } b.resize(a.size()); return b; } ll comb(ll N_, ll C_) { const int NUM_=400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>M>>K; if(1LL*M*(K+1)>N) { cout<<0<<endl; return; } vector<ll> C(2*N+1),D(N+1); FOR(i,M+1) { if(1LL*K*i<=2*N) { if(i%2) { C[i*K]=mo-modpow(2,M-i)*comb(M,i)%mo; } else { C[i*K]=modpow(2,M-i)*comb(M,i)%mo; } } if(i%2) { D[i]=mo-comb(M,i); } else { D[i]=comb(M,i); } } reverse(ALL(C)); FOR(i,1LL*(K+1)*M) C.push_back(0); reverse(ALL(C)); D=inverse(D); C=MultPoly(C,D,1); ll ret=0; for(i=1;i<=N;i++) { ret+=C[i]; } cout<<ret%mo<<endl; }
まとめ
本番だいぶ手間取ったが解けて良かった。