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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.132 点と平面との距離

yukicoder

高校数学のベクトル問題解いてる感じ。
http://yukicoder.me/problems/147

問題

3次元座標上で、頂点PとN個の頂点Q[i]の座標が与えられる。
頂点Q[i]、Q[j]、Q[k]が成す平面と頂点Pの距離をdist(i,j,k)とする。
 \displaystyle \sum_{1 \le i \lt j \lt k \le N} dist(i,j,k)を求めよ。

なお、3頂点が一直線に並んだり、4頂点が同一平面に来ることはない。

解法

各頂点の座標を平行移動して、Pが原点に来るようにすると後が楽。

Nは高々300なので、(i,j,k)の組を総当たりしても間に合う。
あとは、Q[i]、Q[j]、Q[k]の3頂点が成す平面に対する原点からの距離を求める問題となる。
解き方は色々あるだろうが、自分は \overrightarrow{Q_iQ_j} \overrightarrow{Q_iQ_k}のベクトル積を正規化し、 \overrightarrow{OQ_i}との内積を取った。

3頂点が並ぶなどのコーナーケースが無いことが事前に知らされているのでだいぶ楽。

想定解では、Q[i]・Q[j]・Q[k]を底面とし、原点を頂点とする三角錐の体積を求めて、底面積で割れば高さがでるらしい…そんな解法思いつかない。

int N;
double X[1010],Y[1010],Z[1010];
double PX,PY,PZ;

double hoge(int a,int b,int c) {
	double dx[2],dy[2],dz[2];
	dx[0]=X[b]-X[a];
	dy[0]=Y[b]-Y[a];
	dz[0]=Z[b]-Z[a];
	dx[1]=X[c]-X[a];
	dy[1]=Y[c]-Y[a];
	dz[1]=Z[c]-Z[a];
	
	double rx=dy[0]*dz[1]-dy[1]*dz[0];
	double ry=dz[0]*dx[1]-dz[1]*dx[0];
	double rz=dx[0]*dy[1]-dx[1]*dy[0];
	
	double r=sqrt(rx*rx+ry*ry+rz*rz);
	return abs(X[a]*rx+Y[a]*ry+Z[a]*rz)/r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y,z; string s;
	
	cin>>N;
	cin>>PX>>PY>>PZ;
	FOR(i,N) {
		cin>>X[i]>>Y[i]>>Z[i];
		X[i]-=PX;
		Y[i]-=PY;
		Z[i]-=PZ;
	}
	double ret=0;
	FOR(x,N) FOR(y,x) FOR(z,y) ret += hoge(z,y,x);
	_P("%.12lf\n",ret);
	
}

まとめ

やっぱり3次元ライブラリ必要なのかなぁ。

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