kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.271 next_permutation (2)

本番中は基本的なテクを忘れて無駄に苦労してしまった。
http://yukicoder.me/problems/336

問題

1~Nのpermutationである数列xに対し、辞書順でxの次の数列をf(x)とする。
また、inv(x)をxの転倒数とする。

1~Nのpermutationである数列A[0]と整数Kが与えられる。
 A_i=f^i(A_0)とするとき、 \displaystyle \sum_{0\le i \lt K} inv(A_i)を求めよ。

解法

以下Editorialを見ながら回答。

まずA[0]をBITを使いFactorial Number System表現にする。
そうするとA[K]はFactorial Number SystemでKを足すだけなのでO(N)で簡単に求められる。
N桁から繰り上がった分の値をLとしておく。

数列の転倒数は、Factorial Number System表現における各桁の和となる。
invsum(x)をFactorial Number System上でx未満の数における転倒数の総和とする。
また、sum(n)をn桁のFactorial Number System全てにおける転倒数の総和とする。

すると求める解はL*sum(n) + invsum(A[K]) - invsum(A[0])となる。
残りはsumとinvsumを実装すればよい。

sum(n)は、n要素中2要素を取る取り方(n*(n-1))/2通りについて考えると、n!個のpermutationにおいて、うち半分のケースでそれらの要素は転倒していると考えられる。
よって sum(n) = n! \times \frac{n(n-1)}{4}で計算できる。

invsum(x)では後ろの要素から以下の要領で転倒数の和を求めていく。
後ろからi桁目の値をx[i]とすると、以下の3つを順次足していけば良い。

  • i桁目の値が0~(x[i]-1)の間、以降の要素はx[i]!通りのpermutationをすべて辿る。よって後ろ(i-1)桁はx[i]周permutationを列挙するので、sum(i-1)*x[i]個転倒数をカウントする。
  • 後ろ(i-1)桁のFactorial Number System表現を普通の整数に変換した場合、その回数分後ろにより小さい数字がv[i]個登場するので、(後ろ(i-1)桁のFactorial Number System表現を普通の整数に変換した値)*x[i]を転倒数にカウントする。
  • i桁目の値がj=0~(x[i]-1)の間、以降の要素はx[i]!通りのpermutationをすべて辿る。その過程で毎回j個i桁目より小さい値が登場することになるので、(i-1)!*(x-1)*x/2個転倒数をカウントする。
template<class V, int ME> class BIT {
public:
	V bit[1<<ME];
	V operator()(int e) {V s=0;e++;while(e) s+=bit[e-1],e-=e&-e; return s;}
	V add(int e,V v) { e++; while(e<=1<<ME) bit[e-1]+=v,e+=e&-e;}
};

ll mo=1000000007;
int N;
ll K;
vector<int> P,P2;


vector<int> toFNS(vector<int> v) { // factorial number system
	static BIT<int,20> bt;
	ZERO(bt.bit);
	
	vector<int> ret;
	reverse(v.begin(),v.end());
	FORR(r,v) ret.push_back(bt(r)), bt.add(r,1);
	reverse(ret.begin(),ret.end());
	return ret;
}


ll fact[101010], totinv[101010];
void FNSinvsuminit(){
	int i;
	ll f=1;
	fact[0]=1;
	totinv[0]=0;
	for(i=1;i<=100000+5;i++) {
		fact[i]=fact[i-1]*i;
		f=f*i%mo;
		if(fact[i]<fact[i-1]) fact[i]=1LL<<62;
		totinv[i]=f%mo*i%mo;
		(totinv[i]*=i-1)%=mo;
		(totinv[i]*=(mo+1)/2)%=mo;
		(totinv[i]*=(mo+1)/2)%=mo;
	}
}

ll FNSinvsum(vector<int> v) {
	ll sum=0,num=0,f=1;
	int i,j;
	
	for(i=v.size()-1;i>=0;i--) {
		sum += totinv[v.size()-1-i]*v[i]%mo;
		sum += f%mo*(1LL*v[i]*(v[i]-1)/2%mo)%mo;
		sum += v[i]*num%mo;
		num=(num+v[i]*f)%mo;
		f=f*(v.size()-i)%mo;
	}
	return sum%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	FNSinvsuminit();

	cin>>N>>K;
	FOR(i,N) cin>>x, P.push_back(x);
	P2=P=toFNS(P);
	
	// add K
	FOR(i,N) {
		ll t=K+P2[N-1-i];
		P2[N-1-i]=t%(i+1);
		K=t/(i+1);
	}
	cout<<(mo + K%mo*totinv[N]%mo + FNSinvsum(P2) - FNSinvsum(P))%mo<<endl;
	
}

まとめ

うーむややこしい。

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