kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

TopCoder SRM 707 Div2 Hard Cashback

問題のネタ切れなのかな…。
https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=14523

問題

N個の銀行口座があり、それぞれlimit[i]ドルずつ預金額がある。
1個1ドルの商品がM種類あり、それぞれamount[j]個ずつある。

i番の口座を使いj番の商品を購入すると、後日rate[i][j]の割合でキャッシュバックされる。
最適な購入方法をとるとき、キャッシュバック金額の最大値を応えよ。

解法

口座と商品の対応をとる問題というとマッチングが思いつく。
さらにマッチングに対し何かrateの掛け算を行う、となると最小コストフローが思いつく。

今回の問題は最小値ではなく最大値を求める問題なので、どうにかして最小フローに変換しよう。
そこで、この問題を以下の通り言い換える。

  • キャッシュバック額rate[i][j]の総和の最大化ではなく、キャッシュバックされない額(100%-rate[i][j])の総和の最小化を考える。
  • 商品購入に使われない預金残高は、キャッシュバックされない額が100%となる。

上記考え方をそのままグラフにしよう。

  • sourceから口座に相当するN頂点に容量limit[i]、コスト0の辺を張る。
  • 口座に相当する頂点から商品に相当する頂点に容量無限大、コスト100-rate[i][j]の辺を張る。
  • 口座に相当する頂点からsinkに容量無限大、コスト100の辺を張る。
  • 各商品に相当する頂点からsinkに容量amount[j]、コスト0の辺を張る。

あとは全預金残高から、この最小コストフローで求められる「キャッシュバックされない額」を引けばよい。

template<int NV,class V> class MinCostFlow {
public:
	struct edge { int to;ll capacity; V cost; int reve;};
	vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV];
	void add_edge(int x,int y, int cap, V cost) {
		E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()});
		E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */
	}
	
	V mincost(int from, int to, ll flow) {
		V res=0; int i,v;
		ZERO(prev_v); ZERO(prev_e);
		while(flow>0) {
			fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2);
			dist[from]=0;
			priority_queue<pair<V,int> > Q;
			Q.push(make_pair(0,from));
			while(Q.size()) {
				V d=-Q.top().first;
				int cur=Q.top().second;
				Q.pop();
				if(dist[cur]!=d) continue;
				if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break;
				FOR(i,E[cur].size()) {
					edge &e=E[cur][i];
					if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost) {
						dist[e.to]=d+e.cost;
						prev_v[e.to]=cur;
						prev_e[e.to]=i;
						Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to));
					}
				}
			}
			
			if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1;
			ll lc=flow;
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity);
			flow -= lc;
			res += lc*dist[to];
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) {
				edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]];
				e.capacity -= lc;
				E[v][e.reve].capacity += lc;
			}
		}
		return res;
	}
};

class Cashback {
	public:
	double findMax(vector <int> limit, vector <int> rate, vector <int> amount) {
		int y,x;
		int N=limit.size();
		int M=amount.size();
		
		MinCostFlow<3050,ll> mcf;
		
		int tot=0;;
		FOR(y,N) {
			tot += limit[y];
			mcf.add_edge(0,100+y,limit[y],0);
			mcf.add_edge(100+y,300,limit[y],100);
			FOR(x,M) {
				mcf.add_edge(100+y,200+x,limit[y],100-rate[y*M+x]);
			}
		}
		FOR(x,M) {
			mcf.add_edge(200+x,300,amount[x],0);
		}
		
		return (tot*100-mcf.mincost(0,300,tot))/100.0;
	}
}

まとめ

最小コストフローのライブラリがあれば、あとは簡単。

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