問題のネタ切れなのかな…。
https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=14523
問題
N個の銀行口座があり、それぞれlimit[i]ドルずつ預金額がある。
1個1ドルの商品がM種類あり、それぞれamount[j]個ずつある。
i番の口座を使いj番の商品を購入すると、後日rate[i][j]の割合でキャッシュバックされる。
最適な購入方法をとるとき、キャッシュバック金額の最大値を応えよ。
解法
口座と商品の対応をとる問題というとマッチングが思いつく。
さらにマッチングに対し何かrateの掛け算を行う、となると最小コストフローが思いつく。
今回の問題は最小値ではなく最大値を求める問題なので、どうにかして最小フローに変換しよう。
そこで、この問題を以下の通り言い換える。
- キャッシュバック額rate[i][j]の総和の最大化ではなく、キャッシュバックされない額(100%-rate[i][j])の総和の最小化を考える。
- 商品購入に使われない預金残高は、キャッシュバックされない額が100%となる。
上記考え方をそのままグラフにしよう。
- sourceから口座に相当するN頂点に容量limit[i]、コスト0の辺を張る。
- 口座に相当する頂点から商品に相当する頂点に容量無限大、コスト100-rate[i][j]の辺を張る。
- 口座に相当する頂点からsinkに容量無限大、コスト100の辺を張る。
- 各商品に相当する頂点からsinkに容量amount[j]、コスト0の辺を張る。
あとは全預金残高から、この最小コストフローで求められる「キャッシュバックされない額」を引けばよい。
template<int NV,class V> class MinCostFlow { public: struct edge { int to;ll capacity; V cost; int reve;}; vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV]; void add_edge(int x,int y, int cap, V cost) { E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()}); E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */ } V mincost(int from, int to, ll flow) { V res=0; int i,v; ZERO(prev_v); ZERO(prev_e); while(flow>0) { fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2); dist[from]=0; priority_queue<pair<V,int> > Q; Q.push(make_pair(0,from)); while(Q.size()) { V d=-Q.top().first; int cur=Q.top().second; Q.pop(); if(dist[cur]!=d) continue; if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break; FOR(i,E[cur].size()) { edge &e=E[cur][i]; if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost) { dist[e.to]=d+e.cost; prev_v[e.to]=cur; prev_e[e.to]=i; Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to)); } } } if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1; ll lc=flow; for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity); flow -= lc; res += lc*dist[to]; for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) { edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]]; e.capacity -= lc; E[v][e.reve].capacity += lc; } } return res; } }; class Cashback { public: double findMax(vector <int> limit, vector <int> rate, vector <int> amount) { int y,x; int N=limit.size(); int M=amount.size(); MinCostFlow<3050,ll> mcf; int tot=0;; FOR(y,N) { tot += limit[y]; mcf.add_edge(0,100+y,limit[y],0); mcf.add_edge(100+y,300,limit[y],100); FOR(x,M) { mcf.add_edge(100+y,200+x,limit[y],100-rate[y*M+x]); } } FOR(x,M) { mcf.add_edge(200+x,300,amount[x],0); } return (tot*100-mcf.mincost(0,300,tot))/100.0; } }
まとめ
最小コストフローのライブラリがあれば、あとは簡単。