yukicoder : No.577 Prime Powerful Numbers

ライブラリのバグに気付くのが遅れ大苦戦。
https://yukicoder.me/problems/no/577

問題

整数Nが与えられる。
素数p,qと正整数a,bを用いて、と表すことができるか判定せよ。

解法

Nの上限が10^18である。
10^6程度までなら総当たり可能なので、まず10^6以下の素数xを列挙し、かつxの累乗のうち10^18以下の物を列挙しておこう。

Nが小さい場合は、上記列挙したものを総当たりすればよいので、以下Nがある程度大きい場合を考える。

• Nが偶数の場合
  • ゴールドバッハの予想より、Nは２つの奇数和で表せるので、a=b=1で、p+q=Nとなる解が存在する。この問題は表せるかどうかだけ判定すればよいので、値を求める必要はない。
• Nが奇数の場合
  • p,qのどちらかは2である。
  • そこで、p=2とし、aを1～log(N)まで総当たりしよう。
  • pとaを定めると、q^b = N - p^aとなるq,bを求める問題となる。
  • bが３以上で成り立つ場合、解があるとすると最初のxの累乗のいずれかなので容易に判定できる。
  • bが1,2で成り立つ場合、qまたは√qが素数かどうか判定する。普通に判定すると間に合わないのでミラーラビン検定法を使おう。

int Q;
ll N;

const int prime_max = 1000000;
int NP,prime[1000000],divp[prime_max];

void cprime() {
	for(int i=2;i<prime_max;i++) if(divp[i]==0) {
		prime[NP++]=i;
		for(ll j=1LL*i*i;j>=i&&j<prime_max;j+=i) if(divp[j]==0) divp[j]=i;
	}
}

ll modpow(__int128_t a, ll n, ll mo) {
	__int128_t r=1;
	a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}
bool MillerRabin(ll v,int loop=50) {
	ll d=v-1;
	int s=0,i,j;
	if(v<=1) return false;
	if(v==2) return true;
	if(v%2==0) return false;
	while(d%2==0) d/=2,s++;
	
	FOR(i,loop) {
		ll a=abs(1LL*rand()*rand()+rand())%(v-2)+1;
		ll r=modpow(a,d,v);
		if(r==1 || r==v-1) continue;
		FOR(j,s) {
			r=modpow(r,2,v);
			if(r==v-1) break;
		}
		if(j==s) return false;
	}
	return true;
}


bool issq(ll v) {
	for(ll a=sqrt(v)-10000;a<=sqrt(v)+10000;a++) {
		if(a*a>v) break;
		if(a*a==v && MillerRabin(a)) return 1;
	}
	return 0;
}

set<ll> S,T;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	srand(time(NULL));
	cprime();
	FOR(i,NP) {
		ll a=1;
		while(a*prime[i]/prime[i]==a) {
			a*=prime[i];
			if(a>1000000000000000000LL) break;
			S.insert(a);
			if(i==0) T.insert(a);
		}
	}
	
	cin>>Q;
	while(Q--) {
		cin>>N;
		
		int ok=0;
		if(N<=1000000) {
			FORR(c,S) {
				if(ok) break;
				ll left=N-c;
				if(left<2) break;
				if(S.count(left)) ok=1;
			}
		}
		else if(N%2==0) {
			ok=1;
		}
		else {
			FORR(c,T) {
				if(ok) break;
				ll left=N-c;
				if(left<2) break;
				if(S.count(left) || (left>1000000 && MillerRabin(left)) || (left>1000000000000LL && issq(left))) ok=1;
			}
		}
		
		if(ok) cout<<"Yes"<<endl;
		else cout<<"No"<<endl;
	}
}

まとめ

ミラーラビンがバグっていた。