AtCoder ABC #240 : G - Teleporting Takahashi

これは何とか類題を思い出せて解けた。
https://atcoder.jp/contests/abc240/tasks/abc240_g

問題

3次元座標上で点が移動する。
点は初期状態で原点におり、移動1回ごとにX座標かY座標かZ座標で距離が1離れた格子点のいずれかに移動する。
N回移動を行った後、点が(X,Y,Z)にいる移動順は何通りか。

解法

先にX,Y,Zを絶対値を取っておき、非負の値にしておく。

f(n) := X座標またはY座標のみの移動を計n回行ったとき、点が(X,Y)に移動する移動順の組み合わせ数
とする。
Z座標の移動回数をmとすると、mを総当たりすれば、Z座標の正の移動回数が(Z+m)/2、負の移動回数が(Z-m)/2となるので、条件を満たす移動回数はf(N-m)*Comb(m,(Z+m)/2)となる。
よって、f(n)を高速に求められるなら、mを総当たりして上記値の総和を求めればよい。

あとはf(n)を考える。
そのまま考えると、移動方法が4通りあって考えるのが大変である。
そこで独立した2種類の移動についてそれぞれ2通りあると考えよう。
移動前後における(x座標+y座標)の値と(x座標-y座標)の値の変化を考えると、4通りの移動に対し、いずれも+1か-1のいずれかとなる。
よって、最後に(x座標+y座標)が(X+Y)、(x座標-y座標)が(X-Y)となるように移動することを考えると、
f(n) = Comb(n,(X+Y+n)/2)*Comb(n,(X-Y+n)/2)
となる。

ll N,X,Y,Z;
const ll mo=998244353;
const int NUM_=10400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N>>X>>Y>>Z;
	X=abs(X);
	Y=abs(Y);
	Z=abs(Z);
	ll ret=0;
	for(i=0;i<=N;i++) if(i>=X+Y&&(i-(X+Y))%2==0&&N-i>=Z) {
		ll pat=comb(i,(i-(X+Y))/2)*comb(i,(i-abs(X-Y))/2)%mo;
		ll a=N-i;
		if((a-Z)%2==0) (ret+=pat*comb(N,i)%mo*comb(a,(a-Z)/2))%=mo;
	}
	cout<<ret<<endl;
}

まとめ

このテクどこで見たか忘れたな…。