kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.284 門松と魔法(2)

東工大勢はなんかBIT/SegTree/HL分解/平衡二分木などのデータ構造ゲーが好きなイメージがある。…1人か2人かもしれないが。
http://yukicoder.me/problems/662

問題

N本の竹が順に並んでおり、それぞれの長さはA[i]である。
幾つかの竹を取り除き、残された竹が門松列を構成するようにしたい。
竹の列が門松列を成すとは以下の状態を満たす場合を意味する。

  • 3本以上の丈の列である。
  • 連続する3本の丈の長さはいずれも異なり、中央が最長または最短である。

最大で竹何本の門松列を構成できるか。

解法

Editorialを見て回答。
最初にAは座標圧縮しておこう。

左から順に竹を残す/取り除くを決めていくDPを考える。
dp[L][M]を、DP中において右端2本の長さがL,Mである最大門松列長とする。

R=A[i]が右端になる場合を考えると、dp[M][R] = max(dp[L][M]+1) (ただしLはL!=Rかつ(L<MかつM>R)または(L>MかつM<R)を満たすもの)で状態を更新していけば良い。
ただ、このDPはこのまま処理するとO(N^3)かかる。
max内をRMQと見なせばO(N^2*logN)になるし、max(dp[L][M])は常に上位2位まで覚えておけばよい(どちらかのLはRと不一致だから)ことを考慮するとO(N^2)まで落とせるが、まだこれでも間に合わない。

ここで、max(dp[L][M])についてLを上位2位まで覚えておけばよいように、Mについても上位2位まで考慮すれば十分であることを用いる。
M番目の要素としてdp[L][M]の上位2位まで覚えさせ、区間に対してはLの異なるdp[L][M]の上位2位を求められるSegTreeを使いDPしていこう。
(dp[L][M]は実際は2次元配列ではなく、各Mに対しLを上位2個だけ覚えておけばよいので、メモリ容量はO(N))

直前2要素が降下している(L>M)場合と上昇している(L<M)場合の2つのSegTreeを用いる。
例えば前者を用いる場合、次はM<Rでなければならない。
よって0≦M<Rの範囲でSegTreeを検索し、dp[L][M]の最大値を求める。
また、0≦M'<MおよびM<M'<Rの範囲で再度SegTreeを検索し、dp[L'][M']が2番手になるようなL',M'を求める。
上記2値M,M'に対し、dp[M][R]およびdp[M'][R]を更新していこう。

だいぶ大ざっぱに書いているので、Editorialを見た方が良いです。

typedef pair<int,pair<int,int>> entry;
typedef pair<entry,entry> node;

node comp(vector<entry> v,node def) {
	sort(ALL(v));
	reverse(ALL(v));
	for(int i=v.size()-1;i>=1;i--) if(v[i].second.first==v[i-1].second.first) v.erase(v.begin()+i);
	while(v.size()<2) v.push_back(def.first);
	return {v[0],v[1]};
}
node comp(node n1,node n2,node def) {
	vector<entry> v;
	if(n1.first.first>0) v.push_back(n1.first);
	if(n1.second.first>0) v.push_back(n1.second);
	if(n2.first.first>0) v.push_back(n2.first);
	if(n2.second.first>0) v.push_back(n2.second);
	return comp(v,def);
}

template<class V,int NV> class SegTree_1 {
public:
	vector<V> val;
	V def;
	
	void init(V def_){def=def_;val=vector<V>(NV*2,def);};
	V getval(int x,int y,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(r<=x || y<=l || x>=y) return def;
		if(x<=l && r<=y) return val[k];
		return comp(getval(x,y,l,(l+r)/2,k*2),getval(x,y,(l+r)/2,r,k*2+1),def);
	}
	void update(int entry, V v) {
		entry += NV;
		val[entry]=comp(val[entry],v,def);
		while(entry>1) entry>>=1, val[entry]=comp(val[entry*2],val[entry*2+1],def);
	}
};

SegTree_1<node,1<<18> st_inc,st_dec;

int N;
int A[101010],rev[101010];
map<int,int> M;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) cin>>A[i],M[A[i]]=0;
	x=0;
	FORR(r,M) r.second=++x,rev[x]=r.first;
	
	int ma=0;
	st_inc.init({{0,{0,x+1}},{0,{0,x+1}}});
	st_dec.init({{0,{0,0}},{0,{0,0}}});
	FOR(i,N) {
		A[i]=M[A[i]];
		
		{
			// dec
			node hoge=st_dec.def, hoge2=st_dec.def;
			auto r=st_inc.getval(A[i]+1,N+2);
			int m=r.first.second.second;
			vector<entry> e,e2;
			e.push_back(r.first);
			e.push_back(r.second);
			e.push_back(st_inc.val[m+(1<<18)].second);
			r=comp(st_inc.getval(A[i]+1,m),st_inc.getval(m+1,N+2),st_inc.def);
			m=r.first.second.second;
			e.push_back(r.first);
			e.push_back(r.second);
			e.push_back(st_inc.val[m+(1<<18)].second);
			sort(ALL(e));
			e.erase(unique(ALL(e)),e.end());
			FORR(rr,e) if(A[i]!=rr.second.first) e2.push_back({rr.first+1,{rr.second.second,A[i]}}), ma=max(ma,rr.first+1);
			st_dec.update(A[i],comp(e2,st_dec.def));
		}
		{
			// inc
			node hoge=st_inc.def, hoge2=st_inc.def;
			auto r=st_dec.getval(0,A[i]);
			int m=r.first.second.second;
			vector<entry> e,e2;
			e.push_back(r.first);
			e.push_back(r.second);
			e.push_back(st_dec.val[m+(1<<18)].second);
			r=comp(st_dec.getval(0,m),st_dec.getval(m+1,A[i]),st_dec.def);
			e.push_back(r.first);
			e.push_back(r.second);
			m=r.first.second.second;
			e.push_back(st_dec.val[m+(1<<18)].second);
			e.erase(unique(ALL(e)),e.end());
			FORR(rr,e) if(A[i]!=rr.second.first) e2.push_back({rr.first+1,{rr.second.second,A[i]}}), ma=max(ma,rr.first+1);
			st_inc.update(A[i],comp(e2,st_inc.def));
		}
	}
	if(ma<3) ma=0;
	cout<<ma<<endl;
}

まとめ

直前に覚えた「竹を短くする魔法」で残せる竹が増えるかもしれないのに、忘れちゃったんですかね?

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