yukicoder : No.644 G L C C D M

色々グダった回。
https://yukicoder.me/problems/no/644

問題

整数列Aに対し、以下の操作を行った数列をBとする。

• Bの長さは|A|-1であり、要素は以下のように定義される。
  • B[i] = GCD(A[i],A[i+1]) (iが偶数)
  • B[i] = LCM(A[i],A[i+1]) (iが奇数)

Aに対し|A|回処理を行うと要素数1の数列ができることがわかる。

整数N,Mが与えられる。
AとしてNのPermutationを選んだ時、最終的に残る要素がMとなるのは何通りか。

解法

Aで具体的に数字を当てはめて色々試すと、結局最終的な要素は最初の2値で決まりGCD(A[0],A[1])となることがわかる。
よって1～Nから2要素X,Yを選んだ時、GCD(X,Y)がMとなるものの組を求めよう。
残り(N-2)要素の並び順は何でもいいので(N-2)!をそれに掛ける。

GCD(X,Y)がMの倍数となるためには、X,YがともにMの倍数であればいいので1*M～floow(N/M)*Mのいずれかを取る。
ただしGCD(X,Y)がMより大きくてもいけないので、そこは包除原理の要領でそういうケースを取り除いていこう。

int N,M;
ll mo=1000000007;
ll ret=0;

const int prime_max = 1000000;
int NP,prime[100000],divp[prime_max];

void cprime() {
	if(NP) return;
	for(int i=2;i<prime_max;i++) if(divp[i]==0) {
		//M[i]=NP;
		prime[NP++]=i;
		for(ll j=1LL*i*i;j>=i&&j<prime_max;j+=i) if(divp[j]==0) divp[j]=i;
	}
}

void dfs(int cur,ll mul,int sgn) {
	(ret+=mo+(N/M/mul)*(N/M/mul)%mo*sgn)%=mo;
	int i;
	for(i=cur;mul*prime[i]<=N/M;i++) {
		dfs(i+1,mul*prime[i],-sgn);
	}
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	if(M>N) return _P("0\n");
	cprime();
	dfs(0,1,1);
	ret+=mo-1;
	
	for(i=1;i<=N-2;i++) ret=ret*i%mo;
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

シンプルな問題設定で良い。