AtCoder ARC #154 : F - Dice Game

これは知識が足りなすぎる…。
https://atcoder.jp/contests/arc154/tasks/arc154_f

問題

正整数N,Mが与えられる。
N面サイコロを、各面が1回以上出るまで振る回数をxとする。
x^iの期待値を、i=1～Mそれぞれで求めよ。

解法

A[i]を、サイコロをi回振ったときに各面が1回以上出ている通り数
とし、指数型母関数f(x)と通常型母関数g(x)を考える。
とすると、
と置ける。
g(x)=p(x)/q(x)、q(x)=r(x)*(1-Nx)と置き、p(x)とr(x)を求めよう。これらはFFTで計算できる。

B[i]を、サイコロをi回振ったときに初めて各面が1回以上出た状態になる通り数
とし、その母関数をh(x)とするとh(x)=p(x/N)/r(x/N)となる。この状態でh(e^x)の係数をM次まで求めよう。

int N,M;
const int mo=998244353;
const int CM=202020;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false,bool recover=false) {
	int len=0;
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=-1,qi=-1,i;
		int s=2;
		len=P.size()+Q.size()-1;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		if(pi==-1||qi==-1) return {};
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			if(recover) R.resize(len);
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	P=fft(P,true);
	if(resize&&recover) P.resize(len);
	return P;
}

template<class T> vec<T> AddPoly(vec<T> P,vec<T> Q) {
	if(P.size()<Q.size()) swap(P,Q);
	for(int i=0;i<Q.size();i++) (P[i]+=Q[i])%=mo;
	return P;
}
const int NUM_=1400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

template<class T> vec<T> inverse(vec<T> a,int tsize=-1) { 
	assert(a[0]>0);
	if(tsize==-1) tsize=a.size();
	while(a.size()<tsize) a.push_back(0);
	a.push_back(1);
	vec<T> b={(T)modpow(a[0])};
	while(b.size()<tsize) {
		vec<T> c(a.begin(),a.begin()+min(tsize,2*(int)b.size()));
		vec<T> d=MultPoly(b,b,true);
		if(d.size()>a.size()) d.resize(a.size());
		c = MultPoly(c,d,true);
		b.resize(2*b.size());
		int i;
		for(i=b.size()/2;i<b.size();i++) b[i]=(mo-c[i])%mo;
	}
	b.resize(tsize);
	return b;
}

vector<ll> exp(vector<ll> F) {
	queue<pair<vector<ll>,vector<ll>>> G;
	int i;
	F.resize(M+1);
	FOR(i,M+1) {
		vector<ll> a={F[i]};
		vector<ll> b={1,mo-i};
		G.push({a,b});
	}
	while(G.size()>1) {
		auto a=G.front();
		G.pop();
		auto b=G.front();
		G.pop();
		vector<ll> c=MultPoly(a.first,b.second,1);
		vector<ll> d=MultPoly(b.first,a.second,1);
		vector<ll> e=MultPoly(a.second,b.second,1);
		G.push({AddPoly(c,d),e});
	}
	auto CP=G.front().first;
	auto CQ=G.front().second;
	CP.resize(M+1);
	CQ.resize(M+1);
	CQ=inverse(CQ,M+2);
	CQ.resize(M+1);
	auto C=MultPoly(CP,CQ,1);
	C.resize(M+1);
	FOR(i,M+1) (C[i]*=factr[i])%=mo;
	return C;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N>>M;
	
	if(N==1) {
		FOR(i,M) cout<<1<<endl;
		return;
	}
	
	int OM=M;
	M=200100;
	queue<pair<vector<ll>,vector<ll>>> G;
	FOR(i,N+1) {
		vector<ll> a={comb(N,i)};
		if((N-i)%2) a[0]=mo-a[0];
		vector<ll> b={1,mo-i};
		G.push({a,b});
	}
	while(G.size()>1) {
		auto a=G.front();
		G.pop();
		auto b=G.front();
		G.pop();
		vector<ll> c=MultPoly(a.first,b.second,1);
		vector<ll> d=MultPoly(b.first,a.second,1);
		vector<ll> e=MultPoly(a.second,b.second,1);
		G.push({AddPoly(c,d),e});
	}
	auto P=G.front().first;
	auto Q=G.front().second;
	auto R=Q;
	P.resize(M+1);
	R.resize(M+1);
	
	FOR(i,P.size()) (P[i]*=modpow(modpow(N,i)))%=mo;
	FOR(i,R.size()) (R[i]*=modpow(modpow(N,i)))%=mo;
	// /(1-x)
	FOR(i,R.size()-1) (R[i+1]+=R[i]%mo)%=mo;
	auto H=MultPoly(P,inverse(R,N+202020+1),1);
	H.resize(N+1);
	
	G.pop();
	
	FOR(i,N+1) {
		vector<ll> a={H[i]};
		vector<ll> b={1,mo-i};
		G.push({a,b});
	}
	
	P=exp(P);
	R=exp(R);
	
	
	P=MultPoly(P,inverse(R,M+2),1);
	P.resize(M+1);
	FOR(i,OM) cout<<P[i+1]*fact[i+1]%mo<<endl;
	
}

まとめ

なんかARCよりABCのEx問で出そうな問題。