なんとかこれは自力回答。
https://yukicoder.me/problems/no/1116
問題
N点の完全グラフからM辺を取り除いた形状を考える。
このグラフで、サイクルはいくつあるか。
解法
Mが小さいので、包除原理を考え、M辺のうちいくつかを通るサイクルを数え上げよう。
M辺のうち必ず使用する辺の集合を総当たりする。その際以下のケースは除外する。
- 必ず使用する辺だけで次数が3を超える点ができる。
- 必ず使用する辺だけですでにサイクルが1つできており、それ以外にも辺が余っている。
それぞれの組み合わせは以下の通り。
- 必ず使用する辺がない場合、使う頂点数を3以上で総当たりして通り。2で割るのは順不同にするため。
- 使用する辺が1個だけの場合、他に最低1点を通らないとサイクルができないので、通り。
- 使用する辺が細切れにe個のパスを成しており、未使用頂点がL個あるとき、未使用頂点の使用数kを総当たりして通り。
- 式の前半は、e個のパスのうち1個を固定し、残りe-1個の接続順と向きを総当たりする。
- 後半は、未使用頂点k個の選択と並び順を決め、e個のパスの間にどう挿入するかを決めていく。
int N,M; int A[15],B[15]; ll dp[1<<15]; const ll mo=998244353; template<int um> class UF { public: vector<int> par,rank,cnt; UF() {par=rank=vector<int>(um,0); cnt=vector<int>(um,1); for(int i=0;i<um;i++) par[i]=i;} void reinit() {int i; FOR(i,um) rank[i]=0,cnt[i]=1,par[i]=i;} int operator[](int x) {return (par[x]==x)?(x):(par[x] = operator[](par[x]));} int count(int x) { return cnt[operator[](x)];} int operator()(int x,int y) { if((x=operator[](x))==(y=operator[](y))) return x; cnt[y]=cnt[x]=cnt[x]+cnt[y]; if(rank[x]>rank[y]) return par[x]=y; rank[x]+=rank[x]==rank[y]; return par[y]=x; } }; const int NUM_=400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; ll comb(ll N_, ll C_) { if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } map<int,ll> memo[16]; ll pat(int space,int N) { if(memo[space].count(N)) return memo[space][N]; ll ret=0; int sel; if(N!=::N-2) { for(sel=0;sel<=N;sel++) { ll pat=comb(N,sel)*fact[sel]%mo*comb(sel+space-1,space-1)%mo; ret+=pat; } ret%=mo; ret*=fact[space-1]*(1<<(space-1))%mo; } else { for(sel=1;sel<=N;sel++) { ll pat=comb(N,sel)*fact[sel]%mo; ret+=pat; } } return memo[space][N]=ret%mo; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; cin>>N>>M; vector<int> V; FOR(i,M) { cin>>A[i]>>B[i]; V.push_back(A[i]); V.push_back(B[i]); } sort(ALL(V)); FOR(i,M) { A[i]=lower_bound(ALL(V),A[i])-V.begin(); B[i]=lower_bound(ALL(V),B[i])-V.begin(); } int mask; ll ret=0; // no selected edge for(j=3;j<=N;j++) ret+=comb(N,j)*fact[j-1]%mo*((mo+1)/2)%mo; for(mask=1;mask<1<<M;mask++) { UF<35> uf; map<int,int> P; int c=0; FOR(i,M) if(mask&(1<<i)) { P[A[i]]++, P[B[i]]++; if(uf[A[i]]==uf[B[i]]) c++; uf(A[i],B[i]); } int C[4]={}; FORR(p,P) C[min(3,p.second)]++; if(C[3]) continue; if(C[1]==0) { int num=0; if(c==1) dp[mask]=1; } else { if(c==0) dp[mask]=pat(C[1]/2,N-P.size()); } if(__builtin_popcount(mask)%2==0) ret+=dp[mask]; else ret+=mo-dp[mask]; } cout<<ret%mo<<endl; }
まとめ
★3ってことはないよね…。