AtCoder ARC #107 : F - Sum of Abs

これ系一度見てるはずなんだけどな。
https://atcoder.jp/contests/arc107/tasks/arc107_f

問題

単純無向グラフが与えられる。
各点、削除にかかるコストA[i]と、パラメータB[i]が設定されている。

あるグラフのスコアは、各連結成分においてパラメータBの総和の絶対値を計算し、その総和を取ったものとする。
また、点はコストA[i]を払い接続する辺と合わせて削除できる。
最適な点の削除を行うとき、(スコア)-(コストの総和)の最大値を求めよ。

解法

各点を、(スコアB[i]取得)・(点を削除)・(スコア-B[i]取得)のどの選択肢を取るかを考える。
(スコアB[i]取得)を取る点と、(スコア-B[i]取得)を取る点が辺で隣接していてはいけないとする。
全点ベストな手順を取ったと考え、そこからベストでない手を取るときのスコアの減少分を考える。

• B[i]が非負なら、それぞれ0, A[i]+B[i], 2*B[i]
• B[i]が負なら、それぞれ2*|B[i]|, A[i]+|B[i]|, 0

(2+2N)点の有向グラフを考え、最小カットを求めることで、どうしても発生してしまうスコアの減少分の最小値を求めよう。
始点S、終点T以外に、各点vに対しXv,Yvの2点を作る。
ここで以下のようにフローを流そう。

• Xv→Yvに容量(A[v]+|B[v]|)の辺を張る。最小カットでこの辺が切られる場合、点を削除することに相当する。
• B[i]が非負なら、Yv→Tに容量(2*B[v])の辺を張る。最小カットでこの辺が切られる場合、点が(スコア-B[i]取得)をする連結成分に含まれることに相当する。
• B[i]が負なら、S→Xvに容量(2*|B[v]|)の辺を張る。最小カットでこの辺が切られる場合、点が(スコアB[i]取得)をする連結成分に含まれることに相当する。
• 元のグラフにおいてU→Vという辺があるとき、Yv→XuとXv→Yuに容量無限の辺を張る。これは辺でつながった2点は隣接してはいけない条件が生じないようにする。

これでいい理由がわかりにくいが、B[v]が正の点と負の点を用意し、辺でつないだグラフを考え、対応するフローを見てみると何となくわかる（登場するスコア減少分が直列に並ぶので、最大フローを求めると最小の減少分がわかる）。

int N,M;
ll A[303],B[303];

// O(V^2 E)なのでフローが小さいときはFord-Fulkersonにすべき
template<class V> class MaxFlow_dinic {
public:
	struct edge { int to,reve;V cap;};
	static const int MV = 1100;
	vector<edge> E[MV];
	int itr[MV],lev[MV];
	void add_edge(int x,int y,V cap,bool undir=false) {
		E[x].push_back((edge){y,(int)E[y].size(),cap});
		E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,undir?cap:0});
	}
	void bfs(int cur) {
		MINUS(lev);
		queue<int> q;
		lev[cur]=0;
		q.push(cur);
		while(q.size()) {
			int v=q.front(); q.pop();
			ITR(e,E[v]) if(e->cap>0 && lev[e->to]<0) lev[e->to]=lev[v]+1, q.push(e->to);
		}
	}
	V dfs(int from,int to,V cf) {
		if(from==to) return cf;
		for(;itr[from]<E[from].size();itr[from]++) {
			edge* e=&E[from][itr[from]];
			if(e->cap>0 && lev[from]<lev[e->to]) {
				V f=dfs(e->to,to,min(cf,e->cap));
				if(f>0) {
					e->cap-=f;
					E[e->to][e->reve].cap += f;
					return f;
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	V maxflow(int from, int to) {
		V fl=0,tf;
		while(1) {
			bfs(from);
			if(lev[to]<0) return fl;
			ZERO(itr);
			while((tf=dfs(from,to,numeric_limits<V>::max()))>0) fl+=tf;
		}
	}
};
MaxFlow_dinic<ll> mf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	ll sum=0;
	FOR(i,N) cin>>A[i];
	FOR(i,N) {
		cin>>B[i];
		sum+=abs(B[i]);
		if(B[i]>=0) mf.add_edge(1000,i*2,2*B[i]);
		else mf.add_edge(i*2+1,1001,2*(-B[i]));
		mf.add_edge(2*i,2*i+1,A[i]+abs(B[i]));
	}
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		x--,y--;
		mf.add_edge(2*x+1,2*y,1LL<<50);
		mf.add_edge(2*y+1,2*x,1LL<<50);
	}
	cout<<sum-mf.maxflow(1000,1001)<<endl;
		
}

まとめ

3択を最大フローで表すの、過去にyukicoderでもあったけどうまくフロー作れなかったんだよな。