kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ABC #260 : Ex - Colorfulness

ARC

難しいけど各ステップ自体はそこまでとんでもないアイデアってわけではないんだよな。
https://atcoder.jp/contests/abc260/tasks/abc260_h

問題

1～Nの番号を持つN個のボールがあり、それぞれの色が与えられる。
1～Nの順列Pにおいて、C(P)とはボール番号がPと一致するようにボールを並べたとき、異なる色のボールが隣接している箇所の数とする。
f(k)を、P全パターンにおけるC(P)^kの総和とする。
f(1)…f(M)を求めよ。

解法

A(n)を、P全通りのうちC(P)=nとなるものの個数とする。
まずA(n)を求め、その後f(k)を求めよう。

A(n)を直接求めるのは難しいので、包除原理で解く。
P(n) := 同じ色のボールの隣接箇所がちょうどn個あるボールの並び順
G(n) := 同じ色のボールの隣接箇所がn個以上あるボールの並び順

隣接箇所をどの色から何個選ぶかを考えると多項係数を含む式が出てくる。
色毎に選ぶ個数に対する母関数を考え、FFTでそれらの積を取るとG(n)が求められる。
また、さらにFFTでG(n)に対し包除原理を適用するとP(n)が求められ、P(n)からA(n)が求められる。

次にA(n)からf(k)を求めることを考える。
\displaystyle f(k) = \sum_n k^n\times A(n)
を求めればよい。
\displaystyle F(x) = \sum_k f(k)x^k
となるF(x)を考えると、等比数列の総和の式から
\displaystyle F(x) = \sum_n \frac{A(n)}{1-nx}
とおける。あとはこの和の部分を通分して、右辺を多項式/多項式の形にし、上位M+1項まで係数を求めよう。

int N,M;
int A[252525];
const ll mo=998244353;

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

// 有理数の加算
template<class T> pair<vector<T>,vector<T>> add(pair<vector<T>,vector<T>> a, pair<vector<T>,vector<T>> b) {
	vector<T> c=MultPoly(a.first,b.second,true);
	vector<T> d=MultPoly(b.first,a.second,true);
	vector<T> e=MultPoly(a.second,b.second,true);
	if(c.size()<d.size()) swap(c,d);
	int i;
	FOR(i,d.size()) {
		c[i]+=d[i];
		if(c[i]>=mo) c[i]-=mo;
	}
	
	return {c,e};
}

// 逆数
template<class T> vector<T> inverse(vector<T> a) { 
	assert(a[0]>0);
	vector<T> b={(T)modpow(a[0])};
	while(b.size()<a.size()) {
		vector<T> c(a.begin(),a.begin()+min(a.size(),2*b.size()));
		vector<T> d=MultPoly(b,b,true);
		if(d.size()>a.size()) d.resize(a.size());
		c = MultPoly(c,d,true);
		b.resize(2*b.size());
		int i;
		for(i=b.size()/2;i<b.size();i++) b[i]=(mo-c[i])%mo;
	}
	b.resize(a.size());
	return b;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;

	cin>>N>>M;
	FOR(i,N) {
		cin>>x;
		A[x-1]++;
	}
	
	queue<vec<ll>> Q;
	FOR(i,N) if(A[i]) {
		vector<ll> V;
		FOR(j,A[i]+1) V.push_back(comb(A[i]-1,j)*factr[A[i]-j]%mo*fact[A[i]]%mo);
		Q.push(V);
	}
	
	while(Q.size()>1) {
		auto a=Q.front();
		Q.pop();
		Q.push(MultPoly(a,Q.front(),1));
		Q.pop();
	}
	vec<ll> R=Q.front(),F;
	R.resize(N);
	FOR(i,N) R[i]=R[i]*fact[N-i]%mo;
	
	FOR(i,N) R[i]=R[i]*fact[i]%mo;
	FOR(i,N) F.push_back((i%2)?(mo-factr[i]):factr[i]);
	reverse(ALL(F));
	
	auto FR=MultPoly(F,R,1);
	FR.resize(3*N);
	queue<pair<vec<ll>,vec<ll>>> Q2;
	vector<ll> A(N);
	FOR(i,N) {
		A[N-1-i]=FR[N-1+i]*factr[i]%mo;
	}
	
	FOR(i,N) {
		vector<ll> q;
		if(i==0) q={1};
		else q={1,mo-i};
		Q2.push({{A[i]},q});
	}
	
	while(Q2.size()>1) {
		auto a=Q2.front();
		Q2.pop();
		Q2.push(add(a,Q2.front()));
		Q2.pop();
	}
	vector<ll> pp=Q2.front().first;
	vector<ll> qq=Q2.front().second;
	
	qq.resize(N+M);
	qq=inverse(qq);
	pp=MultPoly(pp,qq,1);
	pp.resize(M+1);
	FOR(i,M) cout<<pp[i+1]<<" ";
	cout<<endl;

}

まとめ

母関数系のテクニック、どうも苦手だ…。