yukicoder : No.2129 Perfect Binary Tree...?

こちらは解けた。
https://yukicoder.me/problems/no/2129

問題

N段の完全二分木を成すグラフがある。
ここで、ある2点が指定され、その間に1辺追加したとする。
2頂点間の最短距離の総和を求めよ。

解法

辺が追加されることで、1個閉路ができ、それにより2点の最短路が変わるケースがある。
まず、元の完全二分木における距離の総和を求めよう。これは漸化式で計算できる。

あとは、辺の追加によって最短路が変わる分を考える。
木の各頂点が、閉路のうちどの頂点に最寄であるかを数え上げよう。

C(u) を頂点uが最寄であるような頂点数とする。
閉路上の2点u,vにおいて、元の木上の距離がd、辺を加えたことでu-v間の最短距離がeになったとする。
その場合、解である最短距離の総和は、C(u)*C(v)*(d-e)だけ減少することになる。
上記値を各u,vに対し、累積和を用いてO(N)で数え上げればよい。

int N;
string S,T;
int A,B,L;
ll F[202020],G[202020],num[202020];
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>S>>T;
	A=S.size();
	B=T.size();
	FOR(i,min(A,B)) {
		if(S[i]!=T[i]) break;
		L=i+1;
	}
	if(A>B) swap(A,B);
	
	FOR(i,202020) {
		F[i]=((i+3)*modpow(2,i)+(i-3)*modpow(2,2*i))%mo;
		G[i]=((i-2)*modpow(2,i)+2)%mo;
		num[i]=modpow(2,i)-1;
	}
	ll tot=F[N];
	if(A==B&&A==L) {
		cout<<tot<<endl;
		return;
	}
	//cout<<A<<" "<<B<<" "<<L<<endl;
	vector<ll> C,CS,CW;
	if(A==L) {
		C.push_back(num[N]-num[N-A]);
		for(i=A+1;i<B;i++) {
			C.push_back(num[N+1-i]-num[N-i]);
		}
		C.push_back(num[N+1-B]);
	}
	else {
		C.push_back(num[N+1-A]);
		for(i=A-1;i>L;i--) {
			C.push_back(num[N+1-i]-num[N-i]);
		}
		C.push_back(num[N]-num[N-L]*2);
		for(i=L+1;i<B;i++) {
			C.push_back(num[N+1-i]-num[N-i]);
		}
		C.push_back(num[N+1-B]);
	}
	CS={C[0]};
	CW={0};
	for(i=1;i<C.size();i++) {
		CS.push_back((CS.back()+C[i]+mo)%mo);
		CW.push_back((CW.back()+i*C[i]%mo+mo)%mo);
	}
	assert(CS.back()==num[N]);
	FOR(i,C.size()) {
		j=i+(C.size()+1)/2;
		if(j>=C.size()) break;
		(tot-=((CW.back()-CW[j-1])-i*(CS.back()-CS[j-1]))%mo*C[i]%mo)%=mo;
		(tot+=(((int)C.size()+i)*(CS.back()-CS[j-1])-(CW.back()-CW[j-1]))%mo*C[i]%mo)%=mo;
	}
	
	cout<<(tot%mo+mo)%mo<<endl;
	
}

まとめ

最初の漸化式が一番悩ましいかも。