yukicoder : No.2169 To Arithmetic

CHT久々かも。
https://yukicoder.me/problems/no/2169

問題

N要素の整数列Aが与えられる。
クエリとして、公差dが与えられるので、以下の問いに答えよ。

• 指定した部分列をインクリメントする、という作業を繰り返し、数列を交差dの等差数列にしたい。インクリメント回数の最小値を求めよ。

解法

2次元座標上で(i,A[i])をプロットし、その凸包を考える。
最終的な数列は、凸包とy=dx+hが接する最大のhに対し、A[i]=d*i+hとなるようにすればよい。

BをAの階差数列とする(B[i]=A[i+1]-A[i])。
A[L...R]のインクリメントは、B[L]をインクリメントしてB[R+1]をデクリメントする処理に相当する。
この回数の総和は、sum(max(d-B[i],0))となる。

この値は、Bを事前にソートして累積和を取っておけば、ソート後のB[i]がdを超える位置を二分探索することでsumを高速に求められる。
B[1]・B[N]以外はdに依存しないので、B[1]・B[N]だけdごとに計算しよう。

int N,Q;
ll A[202020],D[202020];


// max
template<typename V> struct ConvexHull {
	deque<pair<V,V>> Q;
	V calc(pair<V,V> p, V x) {
		return p.first*x+p.second;
	}
	int dodo(pair<V,V> A,pair<V,V> B, pair<V,V> C) {
		return ((__int128)(B.second-C.second)*(B.first-A.first)<=(__int128)(A.second-B.second)*(C.first-B.first));
	}
	void add(V a, V b) { // add ax+b
		if(Q.size() && Q.back().first==a) {
			//aが同じ場合
			//if(b>=Q.back().second) return; //minの場合
			if(b<=Q.back().second) return; //maxの場合
			Q.pop_back();
		}
		Q.push_back({a,b});
		int v;
		while((v=Q.size())>=3 && dodo(Q[v-3],Q[v-2],Q[v-1]))
			Q[v-2]=Q[v-1], Q.pop_back();
	}
	void add(vector<pair<V,V>> v) {
		sort(v.begin(),v.end());
		for(auto r=v.begin();r!=v.end();r++) add(r->first,r->second);
	}
	
	
	V query(V x) {
		int L=-1,R=Q.size()-1;
		while(R-L>1) {
			int M=(L+R)/2;
			(0^((calc(Q[M],x)<=calc(Q[M+1],x)))?L:R)=M;
		}
		return calc(Q[R],x);
	}
};
ConvexHull<ll> ch;
vector<ll> B,BS;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>Q;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i+1];
		if(i) B.push_back(A[i+1]-A[i]);
	}
	sort(ALL(B));
	BS={0LL};
	FORR(d,B) BS.push_back(BS.back()+d);
	
	for(i=N;i>=1;i--) {
		ch.add(-i,A[i]);
	}
	while(Q--) {
		ll D;
		cin>>D;
		ll v=ch.query(D);
		x=lower_bound(ALL(B),D)-B.begin();
		ll ret=BS.back()-BS[x]-(N-1-x)*D;
		ret+=max(0LL,A[1]-v-D);
		ret+=max(0LL,v+D*(N+1)-A[N]-D);
		cout<<ret<<endl;
		
	}
	
}

まとめ

シンプルな問題設定。