yukicoder : No.2310 [Cherry 5th Tune A] Against Regret

今後も出そうだから覚えておくか…。
https://yukicoder.me/problems/no/2310

問題

0～Nの(N+1)点からなる有向グラフが与えられる。
このグラフはDAGであり、多重辺もある。

以下のクエリに順次答えよ。（なお、各クエリは独立である）

• いくつか辺の追加が指示される。i番の指示では、A[i]→B[i]にC[i]本の辺を追加する。
• その後、0番の点からN番の点に至るパスの数を答えよ。

解法

まず前処理として以下を求めよう。
f(x,y) := x番からy番の点に至るパスの数

次に各クエリを考える。
K種の辺が増える場合、(K+2)頂点を考える。
始点sと終点tに加えK種の辺に対応するK頂点を考える。

以下の通り辺をつなごう。
s→t : f(0,N)本辺を張る
s→i : f(0,A[i])本辺を張る
i→t : C[i]*f(B[i],N)本辺を張る
i→j : C[i]*f(B[i],A[j])本辺を張る

このグラフにおいて、s→tの経路の数を数えればよい。

int N,Q;
int X[500][500];
ll S[500][500];
const ll mo=998244353;
ll Y[35][35];
ll dp[55];
int K;
int A[55],B[55],C[55];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	N++;
	FOR(y,N) FOR(x,N) cin>>X[y][x];
	FOR(i,N) {
		S[i][i]=1;
		FOR(x,N) FOR(y,N) (S[i][y]+=S[i][x]*X[x][y])%=mo;
	}
	cin>>Q;
	while(Q--) {
		cin>>K;
		FOR(i,K) {
			cin>>A[i]>>B[i]>>C[i];
		}
		FOR(x,K) FOR(y,K-1) if(A[y]>A[y+1]) {
			swap(A[y],A[y+1]);
			swap(B[y],B[y+1]);
			swap(C[y],C[y+1]);
		}
		ZERO(Y);
		Y[0][K+1]=S[0][N-1];
		FOR(i,K) {
			Y[0][i+1]=S[0][A[i]];
			Y[i+1][K+1]=C[i]*S[B[i]][N-1]%mo;
			FOR(x,K) {
				Y[i+1][x+1]=C[i]*S[B[i]][A[x]]%mo;
			}
		}
		ZERO(dp);
		dp[0]=1;
		FOR(i,K+2) {
			for(x=i+1;x<K+2;x++) (dp[x]+=dp[i]*Y[i][x])%=mo;
		}
		cout<<dp[K+1]<<endl;
		
	}
	
}

まとめ

追加するのは辺だが、辺に対応する点を追加するというのがコツ。