確率で考えた方が楽か…。
https://yukicoder.me/problems/no/2898
問題
1~NのPermutation Aが与えられる。
ただし一部の要素は不定である。
Permutation Aに対しf(A)とは、Aのprefixのうち、末尾の要素が最大となるものの個数である。
不定なところを埋める全パターンに対し、f(A)の総和を求めよ。
解法
不定の要素がM個あるとすると、それらの要素の埋め方はM!通りある。
各要素A[i]が最大になる確率を求め、M!倍した総和を求めよう。
- 前提として、A[i]は、その手前の不定・確定済みの要素より大きくなければならない。
- A[i]が確定である
- A[i]の手前の不定な要素には、A[i]より小さな値が入らなければいけない。これは二項係数で計算できる。
- A[i]が不定である
- A[i]の値を総当たりすることを考える。A[i]の手前に入る値の組み合わせは二項係数で計算できるなので、二項係数の総和を取ればよい。
- A[i]が確定である
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef signed long long ll; #define _P(...) (void)printf(__VA_ARGS__) #define FOR(x,to) for(x=0;x<(to);x++) #define FORR(x,arr) for(auto& x:arr) #define FORR2(x,y,arr) for(auto& [x,y]:arr) #define ALL(a) (a.begin()),(a.end()) #define ZERO(a) memset(a,0,sizeof(a)) #define MINUS(a) memset(a,0xff,sizeof(a)) template<class T> bool chmax(T &a, const T &b) { if(a<b){a=b;return 1;}return 0;} template<class T> bool chmin(T &a, const T &b) { if(a>b){a=b;return 1;}return 0;} //------------------------------------------------------- template<class V, int ME> class BIT { public: V bit[1<<ME]; V operator()(int e) {if(e<0) return 0;V s=0;e++;while(e) s+=bit[e-1],e-=e&-e; return s;} void add(int e,V v) { e++; while(e<=1<<ME) bit[e-1]+=v,e+=e&-e;} }; BIT<int,20> all; int N; int A[202020]; const ll mo=998244353; const int NUM_=2000003; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; ll comb(ll N_, ll C_) { const int NUM_=400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1;a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; cin>>N; int nspre=0,M=0; FOR(i,N) { cin>>A[i]; if(A[i]!=-1) { all.add(A[i],1); } else { M++; } } ll ret=0; int prema=0; FOR(i,N) { if(A[i]==-1) { int pat=nspre; int emp_over=(N-prema)-(all(N)-all(prema)); (ret+=modpow(M)*modpow(comb(M-1,pat))%mo*(comb(M,pat+1)-comb(M-emp_over,pat+1)+mo))%=mo; nspre++; } else { if(A[i]>prema) { int pat=A[i]-all(A[i]); (ret+=comb(pat,nspre)*modpow(comb(M,nspre)))%=mo; prema=A[i]; } } } ret=ret*fact[nspre]%mo; cout<<ret<<endl; } int main(int argc,char** argv){ string s;int i; if(argc==1) ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0); FOR(i,argc-1) s+=argv[i+1],s+='\n'; FOR(i,s.size()) ungetc(s[s.size()-1-i],stdin); cout.tie(0); solve(); return 0; }
まとめ
最初確率でなく普通に数え上げようとしてちょっと混乱した。