kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.2968 Final MIGISITA Strike

yukicoder

これ系の問題は結構好き。
https://yukicoder.me/problems/no/2968

問題

2次元座標で(0,0)-(W,H)の矩形の空間で行うゲームを考える。
初期状態で(X,Y)にプレイヤーがおり、他に味方のキャラN体や敵のキャラM体がいる。
各キャラの位置とパラメータが設定されている。

今プレイヤーが(1,-1)の向きに速度Sで打ち出されたとする。

  • 味方のキャラにぶつかると、パラメータ分速度が増える
  • 敵のキャラにぶつかると、パラメータ分速度が減る
  • 矩形の境界にぶつかると入射角と等しい角度で反射する。ただしその際速度がC減る。

味方・敵は複数回ぶつかると、そのたびに毎回速度が増減する。
プレイヤーの速度が0以下になるとゲームは終了する。その時の座標と、ぶつかった味方・敵キャラの数を答えよ。

解法

プレイヤーが反射すると考えるとややこしいので、舞台を矩形の境界で線対称に反転させることを繰り返し、無限に広い空間でゲームを行うものとする。
この時、この舞台の敵配置は(0,0)-(2*W,2*H)を繰り返し並べたものになる。

(X,Y)から出たプレイヤーは、LCM(2*W,2,H)×√2だけ移動すると元の場所に戻ることになる。
よってそこまでに味方・敵のキャラにぶつかるタイミングを列挙しよう。
これはCRTで求めることができる。

元に戻るまでの一巡をシミュレートし、一巡の速度の増減差分と、速度が最小になるときを求める。
そうすれば、プレイヤーが何巡目で止まるか求めることができるので、最後の一巡分だけ再度シミュレートしよう。

ll H,W,N,M;
ll S,C,SX,SY;
ll X[505050],Y[505050],A[505050];
const ll mo=998244353;
template<class V> V ext_gcd(V p,V q,V& x, V& y) { // get px+qy=gcd(p,q)
	if(q==0) return x=1,y=0,p;
	V g=ext_gcd(q,p%q,y,x);
	y-=p/q*x;
	return g;
}

template<class V> pair<V,V> crt(V a1,V mo1,V a2,V mo2) { // return (x,y) y=lcm(a1,a2),x%mo1=a1,x%mo2=a2
	V g,x,y,z;
	g=ext_gcd(mo1,mo2,x,y);
	a1=(a1%mo1+mo1)%mo1;a2=(a2%mo2+mo2)%mo2;
	if(a1%g != a2%g) return pair<V,V>(-1,0); // N/A
	V lcm=mo1*(mo2/g);
	if(lcm<mo1) return pair<V,V>(-2,0); // overflow
	
	V v=a1+((a2-a1)%lcm+lcm)*x%lcm*(mo1/g);
	return make_pair(((v%lcm)+lcm) % lcm,lcm);
}

vector<vector<ll>> V;
ll na=0,nb=0,cur=0,mi=0;
void out(ll add) {
	SX+=add;
	SY+=add;
	SX%=2*W;
	SY%=2*H;
	if(SX>=W) SX=2*W-SX;
	if(SY>=H) SY=2*H-SY;
	cout<<SX<<" "<<(H-SY)<<" "<<na%mo<<" "<<nb%mo<<endl;
	exit(0);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>W>>H>>N>>M>>S>>C>>SX>>SY;
	SY=H-SY;
	FOR(i,N) {
		cin>>X[i]>>Y[i]>>A[i];
		Y[i]=H-Y[i];
		A[i+1*N]=A[i];
		A[i+2*N]=A[i];
		A[i+3*N]=A[i];
		X[i+1*N]=X[i];
		X[i+2*N]=2*W-X[i];
		X[i+3*N]=2*W-X[i];
		Y[i+1*N]=2*H-Y[i];
		Y[i+2*N]=2*H-Y[i];
		Y[i+3*N]=Y[i];
	}
	N*=4;
	FOR(i,M) {
		cin>>X[N+i]>>Y[N+i]>>A[N+i];
		Y[N+i]=H-Y[N+i];
		A[N+i]=-A[N+i];
		A[N+i+1*M]=A[N+i];
		A[N+i+2*M]=A[N+i];
		A[N+i+3*M]=A[N+i];
		X[N+i+1*M]=X[N+i];
		X[N+i+2*M]=2*W-X[N+i];
		X[N+i+3*M]=2*W-X[N+i];
		Y[N+i+1*M]=2*H-Y[N+i];
		Y[N+i+2*M]=2*H-Y[N+i];
		Y[N+i+3*M]=Y[N+i];
	}
	M*=4;
	ll a=2*H*W/__gcd(H,W);
	V.push_back({0,0,0});
	V.push_back({a,0,a/H+a/W});
	FOR(i,N+M) {
		if(X[i]<SX) X[i]+=2*W;
		if(Y[i]<SY) Y[i]+=2*H;
		auto p=crt<__int128>(X[i]-SX,2*W,Y[i]-SY,2*H);
		if(p.first>0) {
			V.push_back({(ll)p.first,A[i],(ll)((p.first+SX)/W+(p.first+SY)/H),i});
		}
	}
	sort(ALL(V));
	
	FOR(i,V.size()) if(i) {
		if(V[i][1]>0) na++;
		if(V[i][1]<0) nb++;
		cur-=C*(V[i][2]-V[i-1][2]);
		mi=min(mi,cur);
		cur+=V[i][1];
		mi=min(mi,cur);
	}
	if(S+mi>0&&cur>=0) {
		cout<<-1<<endl;
		return;
	}
	cur=-cur;
	ll step=(S+mi+cur-1)/cur;
	if(cur<=0) step=0;
	S-=cur*step;
	na=step%mo*na%mo;
	nb=step%mo*nb%mo;
	
	FOR(i,V.size()) if(i) {
		if(C*(V[i][2]-V[i-1][2])>=S) {
			ll step=(S+C-1)/C+V[i-1][2];
			ll add=0;
			for(j=62;j>=0;j--) {
				ll ax=SX+add+(1LL<<j);
				ll ay=SY+add+(1LL<<j);
				if(ax/W+ay/H<step) add+=(1LL<<j);
			}
			add++;
			out(add);
			
		}
		S-=C*(V[i][2]-V[i-1][2]);
		if(V[i][1]>0) na++;
		if(V[i][1]<0) nb++;
		S+=V[i][1];
		if(S<=0) {
			out(V[i][0]);
		}
	}
	
	
	
	
}

まとめ

反射がテーマの問題、初めて出たころのGCJにあったので思い出深いんだよね。