yukicoder : No.3123 Inversion

考え方はわかっても数え上げは大変。
https://yukicoder.me/problems/no/3123

問題

整数Nが与えられる。
1～NのPermutation Pに対し、f(P)は以下により得られる異なる数列の数とする。

• Pを、P[R[i]]=iを満たす数列Rに置き換える
• Pを、R[i]=P[N-1-i]を満たす数列Rに置き換える。

PはN!通りあるが、それぞれf(P)の総和を求めよ。

解法

Pに対応する行列Aとして、P[i]=jならA[i][j]=1であるようなものを考える。
前者の処理はAを90度回転、後者の処理はAを線対称反転することに対応する。
N=1の場合を除くと、両操作の繰り返しにより得られるf(P)は2,4,8のいずれかとなる。
それぞれ数え上げよう。

• f(P)=2となるケース
  • 90度回転に対し変化せず、線対称ではないもの
  • 90度回転かつ反転すると元に戻るもの
• f(P)=4となるケース
  • 180度回転すると元に戻り、かつ線対称ではないもの
  • 対角線に対称で、90度・180度回転だけではもとに戻らないケース
• f(P)=8となるケース
  • 上記以外

f(P)=2、f(P)=4となるケースは、二重階乗や三項間の漸化式により求められる。

int T;
ll mo;
int N;
ll p2[5<<20];
ll fact[5<<20];
ll fact2[5<<20];
ll dp2[5<<20];
ll dp3[5<<20];
ll dp4[5<<20];
ll dp5[5<<20];
ll dp6[5<<20];
ll dp7[5<<20];
ll ret[5<<20];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>T>>mo;
	
	p2[0]=fact[0]=fact2[0]=fact2[1]=1%mo;
	dp5[1]=1;
	dp5[2]=2;
	for(i=1;i<(5<<20);i++) {
		p2[i]=p2[i-1]*2%mo;
		fact[i]=fact[i-1]*i%mo;
		ret[i]=fact[i];
		if(i==1) continue;
		
		fact2[i]=fact2[i-2]*i%mo;
		
		// 90度回転対称
		if(i%4==0||i%4==1) dp2[i]=p2[i/4]*fact2[(i-2)/2]%mo;
		
		
		if(i<=3) dp3[i]=2%mo;
		else if(i<=5) dp3[i]=6%mo;
		else if(i%2==0) dp3[i]=(2*dp3[i-2]+(i-2)*dp3[i-4])%mo;
		else dp3[i]=(2*dp3[i-2]+(i-3)*dp3[i-4])%mo;
		
		if(i%2==0) dp4[i]=(fact2[i]-dp3[i]-dp2[i])%mo;
		else dp4[i]=(fact2[i-1]-dp3[i]-dp2[i])%mo;
		
		if(i>=3) dp5[i]=(dp5[i-1]+(i-1)*dp5[i-2])%mo;
		
		
		ll c5=dp5[i]-dp3[i];
		dp7[i]=fact[i]-(dp2[i]+dp3[i]+dp4[i]+c5+c5);
		
		
		ret[i]=(dp7[i]*8+dp2[i]*2+dp3[i]*2+dp4[i]*4+c5*4+c5*4)%mo;
		ret[i]=(ret[i]+mo)%mo;
	}
	
	
	
	
	while(T--) {
		cin>>N;
		cout<<ret[N]<<endl;
	}
}

まとめ

考え方はわかっても、すんなり式が立たなさそう。