yukicoder : No.3443 Sum of (Tree Distances)^K 1

この式は知らなかった。
https://yukicoder.me/problems/no/3443

問題

正整数N,Kが与えられる。
f(a)を以下のように定める。

• N点の完全グラフのうち、２点(u,v)間のパスにおけるラベルの最大値がaであるときのdist(u,v)^Kの総和

f(1)～f(N)をそれぞれ求めよ。

解法

d=dist(u,v)を総当たりすることを考える。

• パスを成すd点のうちラベルの最大値がaとなるような点の並びの割合はC(a-1,d-1)/C(N,d)となる。
• dist(u,v)^Kの部分は(d-1)^Kとなる
• パス内のラベルの並べ方はd!/2
• N頂点の木における長さ(d-1)のパスの数の総和をg(d)とすると、頂点1～dだけからなるパスを含むN頂点の木の数を考えるとd*N^(N-1-d)

よってこれらを掛け合わせると以下の通り。(a=Nの時だけはN^{N-1-d}の部分で例外処理が必要)

あとは上記をFFTで計算すればよい。

int N,K;

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false,bool recover=false) {
	int len=0;
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=-1,qi=-1,i;
		int s=2;
		len=P.size()+Q.size()-1;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		if(pi==-1||qi==-1) return {};
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			if(recover) R.resize(len);
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	P=fft(P,true);
	if(resize&&recover) P.resize(len);
	return P;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	vector<ll> F,G;
	ll v=1;
	for(i=1;i<=N;i++) {
		if(i!=N) {
			ll a=modpow(i-1,K)*i%mo*i%mo*modpow(N,N-i-1)%mo*modpow(2)%mo;
			F.push_back(a);
		}
		else {
			ll a=modpow(i-1,K)*i%mo*modpow(2)%mo;
			F.push_back(a);
		}
		G.push_back(modpow(v));
		v=v*i%mo;
	}
	F=MultPoly(F,G,1);
	F.resize(2*N);
	ll f=1;
	FOR(i,N) {
		cout<<f*F[i]%mo<<endl;
		f=f*(i+1)%mo;
	}
}

まとめ

長さdのパスを含む木の数え上げのやり方、そうやるのか…。